Izomorfizmy grup

[aa1]

Udowodnić, że grupy \(\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{R}}\) i \(\displaystyle{ \displaystyle \mathbb{R}^{\ast}}\) (rzeczywiste bez 0) nie są izomorficzne.
Co trzeba po kolei sprawdzić, żeby to udowodnić?

[a4karo]

Popatrz na `-1`. CZy w `(\RR,+)` (bo o to chodzi),jest element, który sie tak zachowuje?

[Jan Kraszewski]

Co trzeba po kolei sprawdzić, żeby to udowodnić?

Masz wskazać własność algebraiczną (czyli taką, która jest zachowywana przez izomorfizmy), którą się te grupy różnią.

JK

[aa1]

Masz wskazać własność algebraiczną (czyli taką, która jest zachowywana przez izomorfizmy), którą się te grupy różnią.

JK

Czy jeśli tak zapiszę to będzie poprawnie?
Niech \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R}^{+} }\) będzie izomorfizmem.
Wówczas \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)=f((-1) \cdot (-1))=f(1)}\)
Zatem grupy nie są izomorficzne, bo nie zachowują różnowartościowości \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\)

[a4karo]

Czy jeśli tak zapiszę to będzie poprawnie?
Niech \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R}^{+} }\) będzie izomorfizmem.
Wówczas \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)=f((-1) \cdot (-1))=f(1)}\)

A skąd ta pierwsza równość?

[Jan Kraszewski]

Czy jeśli tak zapiszę to będzie poprawnie?
Niech \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R}^{+} }\) będzie izomorfizmem.
Wówczas \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)=f((-1) \cdot (-1))=f(1)}\)
Zatem grupy nie są izomorficzne, bo nie zachowują różnowartościowości \(\displaystyle{ f(-1)=f(1)}\)

Nie bardzo. Po pierwsze, forma kuleje (wypadałoby wyraźnie napisać, że rozumujesz nie wprost). Po drugie, ważniejsze, dlaczego uważasz, że \(\displaystyle{ f(-1)=f(-1)+f(-1)}\) ?

Powinno być tak:
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\). Wtedy \(\displaystyle{ 0=f(1)=f((-1) \cdot (-1))=f(-1)+f(-1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\). Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.

JK

[aa1]

Powinno być tak:
Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\). Wtedy \(\displaystyle{ 0=f(1)=f((-1) \cdot (-1))=f(-1)+f(-1)}\), czyli \(\displaystyle{ f(-1)=-f(-1)}\). Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.

JK

A skąd wiemy, że \(\displaystyle{ 0=f(1)}\) ?

[Jan Kraszewski]

A skąd wiemy, że \(\displaystyle{ 0=f(1)}\) ?

A wiesz, jakie własności ma izomorfizm grup?

JK

[aa1]

A wiesz, jakie własności ma izomorfizm grup?

JK

Izomorfizm jest homomorfizmem i bijekcją. Nie pamiętam innych własności.

[Jan Kraszewski]

A co to znaczy, że jest homomorfizmem?

JK

[aa1]

Niech \(\displaystyle{ (G,\circ)}\) i \(\displaystyle{ (H,\bullet)}\) będą grupami oraz \(\displaystyle{ f :G \rightarrow H}\). Funkcja \(\displaystyle{ f}\) jest homomorfizmem, gdy \(\displaystyle{ \forall x, y ∈ G\ f(x\circ y)=f(x)\bullet f(y).}\)

[Jan Kraszewski]

No OK. Jednym z pierwszych faktów udowadnianych po wprowadzeniu pojęcia homomorfizmu grup jest ten mówiący o tym, że homomorfizm przeprowadza element neutralny na element neutralny. I dlatego właśnie \(\displaystyle{ f(1)=0.}\)

JK

[aa1]

Ale dla każdego niezerowego elementu \(\displaystyle{ x}\) grupy addytywnej \(\displaystyle{ \left( \RR,+\right) }\) mamy \(\displaystyle{ -x\ne x}\), zatem \(\displaystyle{ f(-1)=0}\). Ale wtedy \(\displaystyle{ f(1)=f(-1)}\) - sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ f}\) jest różnowartościowe.

JK

A w takim razie dlaczego \(\displaystyle{ f(-1)=0}\)? Bo o ile dobrze myślę, to \(\displaystyle{ -1}\) nie jest elementem neutralnym.

[Jan Kraszewski]

A w takim razie dlaczego \(\displaystyle{ f(-1)=0}\)? Bo o ile dobrze myślę, to \(\displaystyle{ -1}\) nie jest elementem neutralnym.

A wiesz, na czym polega rozumowanie nie wprost? Bo wyraźnie napisałem na początku

Przypuśćmy nie wprost, że istnieje izomorfizm \(\displaystyle{ f: \displaystyle \mathbb{R}^{*} \rightarrow\displaystyle \mathbb{R} }\).

JK

[aa1]

Nie rozumiem tego. Chyba muszę się poddać