Matematyka.pl

Mam do zbadania taki szereg
\(\displaystyle{
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{ \left( -2\right)^{n} \cdot n^{5}}{4^{n}}
}\)
Jakie kryterium zastosować? Pomyślałem że lepszy będzie cauchy i natknąłem się na pewien problem. Mianowicie
\(\displaystyle{
\lim_{n\to \infty} \left| \sqrt[n]{\frac{ \left( -2\right)^{n} \cdot n^{5}}{4^{n}}}\right| = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^{n} \cdot n^{5}}}{4}
}\)
I teraz jak można to uprościć.

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^n}=... }\)

JK

Zrobiłem podobnie jak tutaj [ciach]. A jest tam \(\displaystyle{ \sqrt[n]{2^{n}} }\) no bo chciałem policzyć wartość bezwzględną tylko chyba źle. No generalnie chciałbym to policzyć używając do tego kryterium cauchy'ego bo d'Alambertem cięzko idzie. Wydaje mi się że to powinno być \(\displaystyle{ 2 \cdot \left( \sqrt[n]{n}\right)^5 }\)

Dodano po 8 minutach 56 sekundach:
Jak coś źle to słucham. Wprawdzie niewiele jest przykładów, w których wykorzystywałbym kryterium cauchy'ego

hutsalo pisze: ↑19 lis 2022, o 18:51Wydaje mi się że to powinno być \(\displaystyle{ 2 \cdot \left( \sqrt[n]{n}\right)^5 }\)

No OK. I co dalej?

JK

Raczej nie ok

To zależy, o czym mówimy. Jak dla mnie tylko o liczniku wyrażenia \(\displaystyle{ \frac{\sqrt[n]{2^{n} \cdot n^{5}}}{4}. }\) Ale być może zbyt ufnie do tego podszedłem...

Może masz rację,

hutsalo pisze: ↑19 lis 2022, o 18:10

\(\displaystyle{
\lim_{n\to \infty} \left| \sqrt[n]{\frac{ \left( -2\right)^{n} \cdot n^{5}}{4^{n}}}\right| = \lim_{n\to \infty} \frac{\sqrt[n]{2^{n} \cdot n^{5}}}{4}
}\)

Ale tu coś jest nie tak

No tu się zgadza, że się nie zgadza, ale na wejściu, a nie na wyjściu...

JK

Ale że co że tutaj jest coś nie tak?
\(\displaystyle{
\lim_{n\to \infty} \left| \sqrt[n]{\frac{ \left( -2\right)^{n} \cdot n^{5}}{4^{n}}}\right|
}\)
Jeżeli chodzi o ten pierwiastek to ja to liczyłem z kryterium cauchy'ego, a te kreski są po to bo trzeba sprawdzić czy ten szereg jest bezwzględnie czy warunkowo zbieżny. Ale jeśli jest coś nie tak to chętnie się dowiem. Czekam na sugestie.

Te kreski powinny być pod tym ptaszkiem

hutsalo pisze: ↑21 lis 2022, o 11:23 Czekam na sugestie.

Ok. Wielkie dzięki

No to co Ci w końcu wyszło?

JK

że jest zbieżny, bezwzględnie zbieżny, a wynik mi wyszedł \(\displaystyle{ \frac{1}{2} }\)

OK.

JK