Matematyka.pl

Mamy 7 osób - 4 z rodziny Kowalskich, 3 z rodziny Malinowskich. Ustawiamy je w szeregu tak, że członkowie żadnej z tych rodzin nie stoją w komplecie obok siebie. Ile jest wszystkich takich ustawień, spełniających ten warunek?

Dozwolona jest tylko 1 kolejność
\(\displaystyle{ K, M, K, M, K, M, K}\)

Z tego wychodzi, że ustawień jest \(\displaystyle{ 4!\cdot 3!}\), ale nie jestem pewien co do poprawności tego wyniku.

Ale dlaczego tylko jedno? Chyba źle interpretujesz treść zadania - ono wyklucza ustawienie \(\displaystyle{ K,\red{M,M,M},K,K,K}\), ale nie wyklucza ustawienia \(\displaystyle{ K,K,M,M,K,K,M.}\)

Ok. W takim razie chyba łatwiej będzie to zrobić wykorzystując zasadę włączeń i wyłączeń.

Zabronione ustawienia Kowalskich są wtedy, gdy wszyscy stoją koło siebie i jest ich:
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4! \cdot 3!}\)

Zabronionych ustawień Malinowskich jest:
\(\displaystyle{ 5 \cdot 4! \cdot 3!}\)

Powtarzające się ustawienia to \(\displaystyle{ K, K, K, K, M, M, M}\) lub \(\displaystyle{ M, M, M, K, K, K, K}\), więc:
\(\displaystyle{ 2 \cdot 4! \cdot 3!}\)

Ze wzoru na sumę zbiorów wychodzi
\(\displaystyle{ 4 \cdot 4! \cdot 3! + 5 \cdot 4! \cdot 3! - 2 \cdot 4! \cdot 3! = (4 + 5 - 2) \cdot (4! \cdot 3!) = 7 \cdot 4! \cdot 3!}\)

Dodano po 3 minutach 53 sekundach:
Zapomniałem odjąć to od całości, czyli wychodzi
\(\displaystyle{ 7! -7 \cdot 4! \cdot 3! }\)