Matematyka.pl

Dzień dobry

Czy mógłbym poprosić o jakąś wskazówkę odnośnie dowodu różniczkowalności takiego oto odwzorowania:

\(\displaystyle{ C([0,1]) \ni f \mapsto \int_{0}^{1}f^{n}(t)dt \in \mathbb{R} }\).

Ja bym korzystał z dwumianu Newtona. Ustalamy funkcję \(\displaystyle{ f\in C([0,1])}\), czyli "punkt" w którym będziemy badać różniczkowalność. Musimy znaleźć funkcję liniową i ciągłą \(\displaystyle{ \Lambda}\) taką, żeby wyrażenie

\(\displaystyle{ \frac{\int (f+h)^n -\int f^n -\Lambda h}{\|h\|}}\)

zbiegało do zera przy \(\displaystyle{ h\to 0}\). Jak rozpiszemy \(\displaystyle{ (f+h)^n}\) z dwumianu Newtona, to kandydat na \(\displaystyle{ \Lambda}\) się sam wyłania. Dopracuj szczegóły.