Matematyka.pl

W jaki sposób udowodniłbyś to

\(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(A\cup B)\setminus \mathrm{cl}\, A =\mathrm{int}\,(A\cup B)\cap \mathrm{int}\,(X\setminus A)=\mathrm{int}\,((A\cup B)\setminus A)=\mathrm{int}\, (B\setminus A)\subset \mathrm{int}\, B}\).

Zastanawia mnie, takie zdanie przeczytane w książce "Zarys topologii ogólnej" Ryszarda Engelkinga (jak czytam te wybujałe treści, to się zastanawiam: po co ja tą książkę wypożyczyłem??? , chyba tylko dlatego, że zacząłem ogarniać, że suma prostoķątów domkniętych może dawać elipsę, może zapragnąłem poznać więcej takich prostych sztuczek na płaszczyźnie, a tu LIPA, te książki to są dla kosmitów, nie dla studentów), ale zastanawia mnie (to akurat mnie ciekawi) dlaczego prosta liczb rzeczywistych z naturalną topologią nie może być sumą dwóch przestrzeni topologicznych na dwóch niepustych podzbiorach I, podobnie, dlaczego odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\) nie może być sumą topologiczną dwóch niepustych podzbiorów ?? Czy może to ktoś prosto wyjaśnić Chciałbym to zrozumieć.

Mamy też taki ciekawy fakt, że jeśli mamy podzbiór płaszczyzny \(\displaystyle{ A \subset \RR ^{2}, }\) to brzeg zbioru \(\displaystyle{ A}\) jest równy brzegu dopełnienia zbioru \(\displaystyle{ A.}\)

Jakub Gurak pisze: ↑30 maja 2023, o 15:56 te książki to są dla kosmitów, nie dla studentów

No chyba żartujesz...

AiDi pisze: ↑30 maja 2023, o 17:17

Jakub Gurak pisze: ↑30 maja 2023, o 15:56 te książki to są dla kosmitów, nie dla studentów

No chyba żartujesz...

No cóż, jeśli ktoś szuka prostych sztuczek na płaszczyźnie i pożycza Engelkinga, to co się dziwisz...

JK

Jakub Gurak pisze: ↑30 maja 2023, o 15:56zastanawia mnie dlaczego prosta liczb rzeczywistych z naturalną topologią nie może być sumą dwóch przestrzeni topologicznych na dwóch niepustych podzbiorach :?: I, podobnie, dlaczego odcinek otwarty \(\displaystyle{ \left( 0,1\right) }\) nie może być sumą topologiczną dwóch niepustych podzbiorów ??

Przestrzenie, których nie można przedstawić jako sumy topologicznej dwóch niepustych podprzestrzeni, to dokładnie przestrzeni spójne. Chodzi Ci o dowód tego faktu, czy o to dlaczego \(\displaystyle{ \RR}\) i \(\displaystyle{ (0, 1)}\) są przestrzeniami spójnymi?

Tak,chodzi mi o to pierwsze , w ogóle na to nie wpadłem, że może to mieć związek że spójnością...

Jeśli przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) daje się zapisać jako \(\displaystyle{ Y \sqcup Z}\) dla pewnych niepustych podprzestrzeni \(\displaystyle{ Y, Z \subseteq X}\), to \(\displaystyle{ Y}\) i \(\displaystyle{ Z}\) zaświadczają z definicji, że \(\displaystyle{ X}\) jest niespójna. Z drugiej strony jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest niespójna, to z definicji mamy rozkład \(\displaystyle{ X = Y \cup Z}\), gdzie \(\displaystyle{ Y, Z \subseteq X}\) są otwarte, rozłączne, niepuste. A wtedy \(\displaystyle{ X = Y \sqcup Z}\).

Jakub Gurak pisze: ↑20 maja 2023, o 17:21 Mam też takie zadanie, aby wykazać, że suma zbioru brzegowego w danej przestrzeni topologicznej \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) oraz zbioru nigdziegęstego w tej samej przestrzeni topologicznej jest zbiorem brzegowym w tej przestrzeni. Mogę prosić o wskazówkę??

matmatmm pisze: ↑20 maja 2023, o 17:41Co do kolejnego zadania udowodnij, że dla dowolnych zbiorów \(\displaystyle{ A,B}\) zachodzi

\(\displaystyle{ \mathrm{int}\,(A\cup B)\subset \mathrm{cl}\,A\cup\mathrm{int}\, B}\).

Rozwiązałem wczoraj to zadanie, jak i udowodniłem, że suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym. Proszę o sprawdzenie, a potem o coś jeszcze spytam.



Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie przestrzenią topologiczną, \(\displaystyle{ A \subset X}\) niech będzie zbiorem brzegowym, a \(\displaystyle{ B \subset X}\) niech będzie zbiorem nigdziegęstym. Wykażemy, że suma \(\displaystyle{ A\cup B}\) jest zbiorem brzegowym.

DOWÓD:

Mamy, zgodnie z podaną mi wskazówką:

\(\displaystyle{ Int\left( A \cup B\right) = Int\left( B \cup A\right) \subset \overline{B} \cup Int(A)= }\)

i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest brzegowy, więc ma puste wnętrze, więc to jest równe :

\(\displaystyle{ =\overline{B}.}\)

A zatem:

\(\displaystyle{ Int\left( A \cup B\right) \subset \overline{B}, }\)

więc z monotoniczności operacji wnętrza otrzymujemy:

\(\displaystyle{ Int\left( Int\left( A \cup B\right) \right) = Int\left( A \cup B\right) \subset Int\left( \overline {B}\right) ,}\)

i ponieważ zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest nigdziegęsty, więc ten ostatni zbiór jest pusty.

A zatem również \(\displaystyle{ Int\left( A \cup B\right) =\emptyset}\), i suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zbiorem brzegowym.\(\displaystyle{ \square}\)


Wykażemy podobnie, że suma dwóch zbiorów nigdziegęstych jest zbiorem nigdziegęstym.

Niech \(\displaystyle{ A,B \subset X}\) będą zbiorami nigdziegęstymi.
Wtedy \(\displaystyle{ Int\left( \overline{A}\right) =\emptyset,}\) i podobnie \(\displaystyle{ Int\left( \overline{B}\right) =\emptyset}\).
Mamy:

\(\displaystyle{ Int\left( \overline{A \cup B}\right) = Int\left( \overline{A} \cup \overline{B}\right) \subset \overline{\overline{A}} \cup Int\left( \overline {B}\right) = A \cup Int\left( \overline{B}\right)=A,}\)

gdyż zbiór \(\displaystyle{ B}\) jest nigdziegęsty.

A zatem:

\(\displaystyle{ Int\left( \overline{A \cup B}\right) \subset A,}\)

więc również:

\(\displaystyle{ Int\left( Int \left( \overline{A \cup B}\right) \right) = Int\left( \overline{A \cup B}\right) \subset Int\left( A\right) \subset Int\left( \overline{A}\right) =\emptyset,}\)

gdyż zbiór \(\displaystyle{ A }\) jest nigdziegęsty.

A zatem \(\displaystyle{ Int\left( \overline{A \cup B}\right) =\emptyset,}\) więc zbiór \(\displaystyle{ \overline { A \cup B}}\) jest zbiorem brzegowym, a więc suma \(\displaystyle{ A \cup B}\) jest zbiorem nigdziegęstym.\(\displaystyle{ \square}\)

Chyba dobrze??


Mam teraz pytanie:

Czy można dodać do kolekcji taki fakt, że:

Przekształcenie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) między dwoma przestrzeniami topologicznymi \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest ciągłe, równoważnie wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow } {f}\left( Int \left( A\right)\right) \subset Int \left( \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) \right), }\)

dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\)

Mam jeszcze jedno zadanie:

Niech \(\displaystyle{ \left( X,T\right) }\) będzie przestrzenią topologiczną.
Wtedy przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ T_0}\) przestrzenią, wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych dwóch różnych punktów \(\displaystyle{ x,y \in X}\), mamy: \(\displaystyle{ \overline{ \left\{ x\right\} } \neq \overline{ \left\{ y\right\} }.}\)

Przed chwilą to udowodniłem, proszę o sprawdzenie.

Jeśli \(\displaystyle{ X }\) jest \(\displaystyle{ T_0}\) przestrzenią, to dla elementów \(\displaystyle{ x,y \in X}\), \(\displaystyle{ x \neq y}\) istnieje zbiór otwarty \(\displaystyle{ A \in T}\), taki że: \(\displaystyle{ x \in A}\) i \(\displaystyle{ y\not \in A,}\) lub taki, że \(\displaystyle{ x\not \in A}\) i \(\displaystyle{ y \in A.}\)

Zajmijmy się najpierw pierwszym przypadkiem.

Jeśli \(\displaystyle{ x\in A}\) , \(\displaystyle{ y\not\in A}\), to \(\displaystyle{ x \in A \cap \left\{ x\right\} .}\)

Wykażemy, że \(\displaystyle{ x \in \overline {\left\{ x\right\} } }\). Niech \(\displaystyle{ U \in \mathcal{B}(x) }\) będzie dowolnym otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\). Wtedy \(\displaystyle{ x \in U \cap \left\{ x\right\}}\), a więc zbiór \(\displaystyle{ U \cap \left\{ x\right\}}\) jest niepusty, a stąd \(\displaystyle{ x \in \overline{\left\{ x\right\} }.}\)

I mamy \(\displaystyle{ x\not\in \overline{\left\{ y\right\} }}\), bo gdyby byłoby \(\displaystyle{ x \in \overline{\left\{ y\right\} },}\) to dla dowolnego otoczenia \(\displaystyle{ U \in \mathcal{B} \left( x\right)}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) mielibyśmy, na mocy charakteryzacji domknięcia, otrzymalibyśmy: \(\displaystyle{ U \cap \left\{ y\right\} \neq \left\{ \right\}}\) , a stąd \(\displaystyle{ y \in U}\); i to zachodzi dla dowolnego otoczenia \(\displaystyle{ U \in \mathcal{B} (x)}\) , a zbiór \(\displaystyle{ A \in T}\) jest zbiorem otwartym i \(\displaystyle{ x \in A}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest również otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\), więc możemy również wnioskować, że \(\displaystyle{ y \in A}\)-sprzeczność.

Wobec czego \(\displaystyle{ x\not \in \overline{\left\{ y\right\} } }\), a \(\displaystyle{ x \in \overline{\left\{ x\right\} } }\), wobec czego \(\displaystyle{ \overline{\left\{ x\right\} } \neq \overline{\left\{ y\right\} }.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ x\not\in A}\), a \(\displaystyle{ y\in A}\), to rozumujemy w sposób analogiczny, co kończy dowód implikacji w prawo.


Jeśli dla \(\displaystyle{ x \neq y}\) mamy: \(\displaystyle{ \overline{\left\{ x\right\} } \neq \overline{\left\{ y\right\} }}\), to wtedy: \(\displaystyle{ \overline{\left\{ x\right\} } \not\subset \overline{\left\{ y\right\} }}\) lub \(\displaystyle{ \overline{\left\{ y\right\} }\not\subset \overline{\left\{ x\right\} }.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \overline{\left\{ x\right\} }\not\subset \overline{\left\{ y\right\} }}\), to, z definicji inkluzji, istnieje element \(\displaystyle{ z \in \overline {\left\{ x\right\} }}\), taki, że \(\displaystyle{ z\not \in \overline{\left\{ y\right\} } }\). Ponieważ \(\displaystyle{ z\not \in \overline{\left\{ y\right\} }}\), to na mocy charakteryzacji domknięcia, otrzymujemy, dla pewnego otoczenia \(\displaystyle{ U \in \mathcal{B}(z)}\), że zbiory \(\displaystyle{ U}\) i \(\displaystyle{ \left\{ y\right\}}\) są rozłączne, skąd \(\displaystyle{ y\not \in U}\). A zatem \(\displaystyle{ U}\) jest zbiorem (otwartym) nie zawierającym elementu \(\displaystyle{ y.}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ z \in U}\), \(\displaystyle{ z \in \overline{\left\{ x\right\} }}\) i \(\displaystyle{ U \in \mathcal{B}(z)}\), to na mocy charakteryzacji domknięcia: \(\displaystyle{ U \cap \left\{ x\right\} \neq \left\{ \right\}}\) , skąd \(\displaystyle{ x \in U}\), a więc \(\displaystyle{ U}\) jest otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\) nie zawierającym punktu \(\displaystyle{ y.}\)

Jeśli \(\displaystyle{ \overline{\left\{ y\right\} } \not\subset \overline{\left\{ x\right\}}}\) , to rozumujemy w sposób analogiczny.

A zatem \(\displaystyle{ X}\) jest \(\displaystyle{ T_0}\) przestrzenią. \(\displaystyle{ \square}\)

Jakub Gurak pisze: ↑31 maja 2023, o 22:05




Mam teraz pytanie:

Czy można dodać do kolekcji taki fakt, że:

Przekształcenie \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) między dwoma przestrzeniami topologicznymi \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) jest ciągłe, równoważnie wtedy, gdy:

\(\displaystyle{ \stackrel { \rightarrow } {f}\left( Int \left( A\right)\right) \subset Int \left( \stackrel{ \rightarrow }{f} \left( A\right) \right), }\)

dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subset X}\)

Nie

A potrafisz podać kontrprzykład

Sam poszukaj. To proste

Może:

\(\displaystyle{ f(x)=\sin x , A=\left\langle 0;\pi\right\rangle }\)

Daj mu szansę

Dzięki arek1357, nie wiem czy sam wpadłbym na coś takiego...

Jakub Gurak pisze: ↑30 maja 2023, o 15:56 te książki to są dla kosmitów, nie dla studentów

AiDi pisze: ↑30 maja 2023, o 17:17 No chyba żartujesz...

To Ty chyba nie wiesz jak jest z rozumieniem matematyki u przeciętnego studenta- rachunki może i dobre, ale rozumienia matematyki to nie mają za grosz.

A ja byłem wyjątkowym studentem (i to według opinii mojej promotor pracy magisterskiej Pani Profesor , niedawno Pani Profesor wystawiła mi taką opinię ), a jednak w takie całkowite abstrakcje to nie wchodzę. Bo SĄ one dla KOSMITÓW.

Ja jestem miłośnik zbiorów ogólnych.