Rozwiązałem wczoraj takie poniższe zadanie- "Zarys topologii ogólnej", Ryszard Engelking (nie podam strony, gdyż książki nie mam już w ręku, mam jedynie zapiski na kartce):
Niech
\(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a
\(\displaystyle{ \beta, \beta'}\) niech będą relacjami bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\).
Mówimy, że bliskość
\(\displaystyle{ \beta}\) jest silniejsza od bliskości
\(\displaystyle{ \beta'}\), co zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ \beta ' \le \beta}\), dokładnie wtedy, gdy dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze
\(\displaystyle{ B}\) względem bliskości
\(\displaystyle{ \beta}\), to jest również bliski zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), względem bliskości
\(\displaystyle{ \beta'.}\) Wykazać, że tak określona relacja jest częściowym porządkiem w rodzinie wszystkich relacji bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\).
Wykazałem, prócz tego, że w takim zbiorze uporządkowanym jest element największy.
Przypomnę może teraz dokładną definicję relacji bliskości, i przedstawię dowody tych ciekawych faktów.
Niech
\(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a
\(\displaystyle{ \beta}\) niech będzie relacją w zbiorze
\(\displaystyle{ P\left( X\right)}\), tzn. chodzi o relację pomiędzy dwoma podzbiorami zbioru
\(\displaystyle{ X}\). Relację tą, nazywamy relacją bliskości ( i zbiory
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\) pomiędzy którymi zachodzi ta relacja, tzn. gdy
\(\displaystyle{ A\left( \beta \right)B}\), takie zbiory, o tej własności, nazywamy zbiorami bliskimi, w przeciwnym przypadku, mówimy, że zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) są dalekie, co zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ A\left( \overline{ \beta }\right)B }\) ), gdy spełnia poniższe warunki:
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ}:}\) Zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi
\(\displaystyle{ B}\), dokładnie wtedy, gdy
\(\displaystyle{ B}\) jest bliski
\(\displaystyle{ A}\) (symetryczność);
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}:}\) Zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski sumy
\(\displaystyle{ \left( B \cup C\right)}\) dwóch podzbiorów
\(\displaystyle{ B}\) i
\(\displaystyle{ C}\), dokładnie wtedy, gdy
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski co najmniej jednemu składnikowi tej sumy;
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}:}\) Zbiory jednopunktowe
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}; \left\{ y\right\}}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy
\(\displaystyle{ x=y}\), (czyli różne zbiory jednopunktowe nie są bliskie, są dalekie);
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}:}\) Zbiór pusty jest daleki od całego zbioru
\(\displaystyle{ X;}\)
\(\displaystyle{ 5 ^{\circ}:}\) Jeśli zbiory
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\) są dalekie, to cały zbiór
\(\displaystyle{ X}\) można pokryć dwoma zbiorami
\(\displaystyle{ C}\) i
\(\displaystyle{ D}\) (tzn. można znaleźć takie zbiory
\(\displaystyle{ C,D \subset X}\), że
\(\displaystyle{ C \cup D=X}\)),i to zbiory dalekie od tych odpowiednich zbiorów danych na wejściu (tzn. tak aby zbiór
\(\displaystyle{ A}\) był daleki od zbioru
\(\displaystyle{ C}\), i tak aby zbiór
\(\displaystyle{ B}\) był daleki od zbioru
\(\displaystyle{ D}\)).
Aby objaśnić punkt
\(\displaystyle{ 5 ^{\circ}}\), który może sprawiać tutaj największą trudność, wystarczy za zbiór
\(\displaystyle{ C}\) wziąć małe otoczenie zbioru
\(\displaystyle{ B}\), a za zbiór
\(\displaystyle{ D}\) wziąć jego dopełnienie do zbioru
\(\displaystyle{ X}\)- zilustrowałem to niedawno w jednym z postów powyżej.
Wtedy parę
\(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\) nazywamy przestrzenią z bliskością.
Wykażemy pewien fakt, który będzie w pewnym momencie dość kluczowy, tzn. wykażemy, że:
Fakt 0: Jeśli
\(\displaystyle{ X}\) jest niepustym zbiorem, a
\(\displaystyle{ \beta}\) jest relacją bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), i mamy dwa zbiory
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), które się przecinają, tzn.
\(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\), to zbiory
\(\displaystyle{ A, B}\) muszą być bliskie, i to względem tej dowolnej bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\).
Podajmy najpierw pewien prosty
Lemat:
Lemat: Jeśli
\(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\) jest przestrzenią z bliskością, i mamy trzy zbiory
\(\displaystyle{ A,B,C \subset X}\), takie, że
\(\displaystyle{ B \subset C}\), i takie, że zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) są bliskie, to również zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ C}\) muszą być bliskie (czyli jeśli zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), to jest on bliski również dowolnemu zbiorze
\(\displaystyle{ C \subset X}\) będącym nadzbiorem drugiego zbioru
\(\displaystyle{ B}\) ).
DOWÓD TEGO FAKTU:
Skoro
\(\displaystyle{ B \subset C}\), więc
\(\displaystyle{ B \cup C= C}\), i mamy, że zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) są bliskie, a zatem, w myśl podpunktu
\(\displaystyle{ 2 ^{\circ}}\):
\(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B \cup C}\) (zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski sumy
\(\displaystyle{ B \cup C}\)), a ponieważ
\(\displaystyle{ B \cup C=C}\), więc zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorze
\(\displaystyle{ C. \square}\)
Przejdźmy do dowodu naszego faktu:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Ponieważ
\(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\) , to niech
\(\displaystyle{ x \in A \cap B}\) będzie ustalonym elementem tego przekroju. Na mocy własności
\(\displaystyle{ 3 ^{\circ}}\) zbiór jednopunktowy
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) jest bliski samemu sobie. Mamy:
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset A}\), a zatem, na mocy powyższego
Lematu zastosowanego do zbiorów
\(\displaystyle{ A:=\left\{ x\right\}}\);
\(\displaystyle{ B:= \left\{ x\right\}}\) i
\(\displaystyle{ C:= A}\), więc: zbiór
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) jest bliski zbiorze
\(\displaystyle{ A}\), co wobec symetrii (
\(\displaystyle{ 1 ^{\circ} }\)) relacji bliskości daje, że: zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\). Ponieważ
\(\displaystyle{ x \in A \cap B}\), więc
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \subset B}\), a zatem, ponieważ zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\}}\) są bliskie, więc stosując ten
Lemat jeszcze raz, tym razem do zbiorów
\(\displaystyle{ A:=A}\);
\(\displaystyle{ B:= \left\{ x\right\}}\) i
\(\displaystyle{ C:=B}\) otrzymujemy, że zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) muszą być bliskie, względem dowolnej ustalonej bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X.\square}\)
Wynika stąd, że dla przestrzeni z bliskością
\(\displaystyle{ \left( X, \beta \right) }\), dla niepustego zbioru
\(\displaystyle{ A \subset X}\) zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski samemu sobie (bo niepusty zbiór przecina się z samym sobą).
Przejdźmy do naszego zadania.
Niech
\(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem.
Zauważmy, że jeśli
\(\displaystyle{ \beta}\) jest dowolną relacją bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), to
\(\displaystyle{ \beta \subset P(X) \times P(X)}\), a zatem rodzina wszystkich relacji bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), tzn. rodzina:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}:= \left\{ \beta \subset P(X) \times P(X)\Bigl| \ \ \beta \hbox{ jest relacją bliskości w zbiorze } X\right\};}\)
Formalnie, mamy:
\(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset P\left( P\left( X\right) \times P\left( X\right) \right)}\), a zatem:
\(\displaystyle{ \mathbb{A} \in P\left(\ P\left( \ P\left( X\right) \times P(X) \ \right) \ \right)}\), a więc ta rodzina, jest elementem pewnego zbioru jednoznacznie wyznaczonego przez zbiór
\(\displaystyle{ X}\).
Niech
\(\displaystyle{ \beta , \beta ' \in \mathbb{A}}\) będą relacjami bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X.}\)
Wtedy definiujemy porządek na tych bliskościach:
\(\displaystyle{ \beta ' \le \beta \Longleftrightarrow \left[ \hbox{ dla każdych zbiorów } A,B \subset X: A\left( \beta \right) B \rightarrow A \left( \beta'\right) B\right] .}\)
i mówimy wtedy, że bliskość
\(\displaystyle{ \beta}\) jest silniejsza niż bliskość
\(\displaystyle{ \beta '.}\)
Wykażemy, że relacja
\(\displaystyle{ \le}\) jest częściowym porządkiem, w którym to zbiorze uporządkowanym
\(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le\right) }\) jest element największy.
DOWÓD TEGO FAKTU:
Aby wykazać zwrotność, to niech:
\(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{A}.}\)
Aby wykazać, że:
\(\displaystyle{ \beta \le \beta}\) , to niech
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\). Wtedy jeśli
\(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B}\) (zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest bliski zbiorowi
\(\displaystyle{ B}\)) , to
\(\displaystyle{ A\left( \beta\right) B}\), a zatem żądana własność zachodzi, co wobec dowolności wyboru zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\) oznacza, że
\(\displaystyle{ \beta \le \beta}\), i relacja
\(\displaystyle{ \le}\) jest zwrotna.
Aby wykazać antysymetrię, to załóżmy, że:
\(\displaystyle{ \beta \le \beta '}\) i
\(\displaystyle{ \beta ' \le \beta}\). Oznacza to, że dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X,}\) jeśli
\(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\), to
\(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B}\); oraz, dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli
\(\displaystyle{ A\left( \beta '\right)B}\), to
\(\displaystyle{ A \left( \beta \right)B}\). Co oznacza, mówiąc innymi słowy, że dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), jeśli
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta}\) , to
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta '}\), co oznacza (z definicji inkluzji i z definicji bliskości), że
\(\displaystyle{ \beta \subset \beta ';}\) a druga własność oznacza, mówiąc innymi słowy, że dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X:}\) jeśli
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta '}\), to
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \beta}\) , co oznacza, że
\(\displaystyle{ \beta ' \subset \beta}\) . Łącząc te dwa fakty, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \beta = \beta ',}\) i relacja
\(\displaystyle{ \le}\) jest antysymetryczna.
Przechodniość:
Załóżmy, że
\(\displaystyle{ \beta \le \beta ' \le \beta ''. }\)
Oznacza to, że dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X:}\) jeśli
\(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B}\), to
\(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); oraz, dla każdych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\): jeśli
\(\displaystyle{ A\left( \beta ''\right) B}\), to
\(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B.}\)
Niech
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\) będą takimi podzbiorami, że:
\(\displaystyle{ A\left( \beta ''\right)B}\). Wtedy, na mocy drugiej z tych powższych własności:
\(\displaystyle{ A\left( \beta '\right) B;}\) i dalej, na mocy pierwszej z powyższych własności:
\(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); co, wobec dowolności wyboru zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X,}\) oznacza, że:
\(\displaystyle{ \beta \le \beta '',}\) i relacja
\(\displaystyle{ \le}\) jest przechodnia.
A zatem
\(\displaystyle{ \le}\) jest częściowym porządkiem, i para
\(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le \right)}\) jest zbiorem uporządkowanym.
Wykażemy, że w tym zbiorze uporządkowanym jest element największy.
Zdefiniujmy relację
\(\displaystyle{ \alpha \subset P\left( X\right) \times P\left( X\right)}\), w taki sposób, że dla dowolnych zbiorów
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), określamy:
\(\displaystyle{ \left( A,B\right) \in \alpha \Longleftrightarrow A \cap B \neq \left\{ \right\} .}\)
Wtedy
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest relacją bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\) (patrz: "Zarys Topologii ogólnej" Ryszarda Engelkinga),
a zatem
\(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{A}}\).
Wykażemy, że relacja bliskości
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest elementem największym w tym zbiorze uporządkowanym.
Niech zatem:
\(\displaystyle{ \beta \in \mathbb{A}}\).
Wtedy
\(\displaystyle{ \beta}\) jest relacją bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\). Niech
\(\displaystyle{ A,B \subset X}\), będą takie, że:
\(\displaystyle{ A\left( \alpha \right)B}\). Wtedy
\(\displaystyle{ A \cap B \neq \left\{ \right\}}\), a zatem, ponieważ zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) przecinają się, a
\(\displaystyle{ \beta }\) jest relacją bliskości w zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), więc, na mocy
faktu 0, zbiory
\(\displaystyle{ A}\) i
\(\displaystyle{ B}\) muszą być bliskie, względem tej bliskości, czyli:
\(\displaystyle{ A\left( \beta \right) B}\); i, z dowolności wyboru takich zbiorów otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \beta \le \alpha}\) , i
\(\displaystyle{ \alpha}\) jest elementem największym w
\(\displaystyle{ \left( \mathbb{A}, \le \right) .\square}\)
Trzeba będzie jeszcze wykazać, że zbiory
\(\displaystyle{ A,B \subset \RR^2}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają; jak i trzeba będzie wykazać, że zbiory
\(\displaystyle{ A,B \subset \RR^3}\) są bliskie, dokładnie wtedy, gdy ich domknięcia się przecinają.
Na koniec dodam parę słów o relacji mocnej inkluzji pomiędzy dwoma podzbiorami danego zbioru.
Niech
\(\displaystyle{ \left( X, \beta\right)}\) będzie przestrzenią z bliskością, i niech
\(\displaystyle{ A,B \subset X.}\)
Mówimy, że zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), co zapisujemy jako:
\(\displaystyle{ A\Subset B}\), gdy jest daleki od dopełnienia zbioru
\(\displaystyle{ B}\).
Oto:
ILUSTRACJA TEGO FAKTU:
\(\displaystyle{ \\}\) \(\displaystyle{ \\}\)
Łatwo jest zauważyć, że jeśli zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), to istotnie jest zawarty w zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), tzn. jest podzbiorem zbioru
\(\displaystyle{ B}\).
Również, jeśli zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), to jego dopełnienie do danego zbioru
\(\displaystyle{ X}\) mocno zawiera dopełnienie zbioru
\(\displaystyle{ B}\), tzn.:
\(\displaystyle{ B' \Subset A'}\), gdyż:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Przypuśćmy, że tak nie jest, tzn.
\(\displaystyle{ B'\not\Subset A'.}\) Oznacza to, z definicji mocnej inkluzji, że zbiór
\(\displaystyle{ B'}\) jest bliski dopełnieniu
\(\displaystyle{ \left( A' \right)'=A}\), co, z symetrii relacji bliskości, daje, że
\(\displaystyle{ A \left( \beta \right) B'}\), a zbiór
\(\displaystyle{ A}\) jest mocno zawarty w zbiorze
\(\displaystyle{ B}\), a zatem jest daleki od dopełnienia zbioru
\(\displaystyle{ B}\)-sprzeczność.
\(\displaystyle{ \square}\)
Mamy też taki ciekawy fakt, mówiący, że dla przestrzeni z bliskością
\(\displaystyle{ \left( X, \beta \right)}\), oraz dla czterech zbiorów
\(\displaystyle{ A_1,A,B, B_1 \subset X}\), jeśli
\(\displaystyle{ A_1 \subset A\Subset B \subset B_1}\), to również pomiędzy tymi dwoma skrajnymi zbiorami zachodzi
mocna inkluzja, tzn.:
\(\displaystyle{ A_1\Subset B_1}\).
Również, zbiór pusty jest mocno zawarty w samym sobie, bo jest daleki od dopełnienia zbioru pustego, równemu zbiorze
\(\displaystyle{ X}\), na mocy własności
\(\displaystyle{ 4 ^{\circ}}\) definicji bliskości ( a dlaczego zbiór pusty ma być daleki od całego zbioru
\(\displaystyle{ X}\)?? - tego już Wam nie objaśnię, gdyż zbiór pusty nie jest mi bliski
).
Również, jeśli zbiór
\(\displaystyle{ A \subset X}\) jest otoczeniem punktu
\(\displaystyle{ x}\), to
\(\displaystyle{ \left\{ x\right\} \Subset A}\).