Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Od środy wieczorem do dzisiaj zajmowałem się (za wyjątkiem napisania wczoraj zaległego postu z teorii zbiorów ), zajmowałem się topologią- odstąpiłem od teorii mnogości, uznając, że chcę zrobić trzy elementarne zadania z topologii, które mnie interesują. Ale kończę już z topologią, i powracam do teorii mnogości, gdyż tylko jedno z tych zadań udało się rozwiązać (ale negatywnie, nie ma tutaj niestety ogólnego dowodu), a pozostałych dwóch zadań nawet nie rozstrzygłem do końca. Udało się jedynie dzisiaj udowodnić , że w zbiorze liczb rzeczywistych rodzina wszystkich podzbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest topologią na \(\displaystyle{ \RR}\). Udowodnię teraz ten fakt i jeszcze o coś zapytam.


Przypomnijmy zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) nazywamy zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy spełniona jest implikacja:

\(\displaystyle{ x \in A \Longrightarrow \left( -x\right) \in A.}\)

Czyli zbiór \(\displaystyle{ A \subset \RR}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), gdy z każdym swoim elementem zawiera również liczbę przeciwną do tego elementu.

Łatwo jest zauważyć i udowodnić, że suma dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) oraz przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).

Przejdźmy do naszego zadania:

W zbiorze \(\displaystyle{ \RR}\) rozważmy rodzinę podzbiorów:

\(\displaystyle{ \mathbb{B}= \left\{ A \subset \RR\Bigl| \ A \hbox{ jest zbiorem symetrycznym względem } 0\right\}.}\)

Wykażemy, że jest to topologia na \(\displaystyle{ \RR}\).

W zasadzie należy pokazać, że suma rodziny zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), reszta jest prosta.

W tym celu niech \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \mathbb{B}}\). Wykażemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \in \mathbb{B}. }\)

Niewątpliwie \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \subset \RR}\)- jest to suma podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ \RR}\).

Aby wykazać, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), to niech \(\displaystyle{ x \in \bigcup\mathbb{A}.}\) Wtedy \(\displaystyle{ x\in A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\). Ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subset \mathbb{B},}\) więc zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczny względem \(\displaystyle{ 0}\), więc ponieważ \(\displaystyle{ x\in A}\), więc również \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in A}\), gdzie \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), a więc \(\displaystyle{ \left( -x\right) \in \bigcup\mathbb{A}}\), i zbiór \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a więc \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{A} \in \mathbb{B}.}\)

Przekrój dwóch zbiorów z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest w rodzinie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\), gdyż, na mocy przytoczonego faktu, przekrój dwóch zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).

Łatwo jest zauważyć, że cały zbiór \(\displaystyle{ \RR}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc ponieważ dopełnienie zbioru symetrycznego względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\) (mogę to udowodnić), więc również zbiór pusty \(\displaystyle{ \emptyset =\RR ^{'}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\).

A więc \(\displaystyle{ \left( \RR, \mathbb{B}\right) }\) jest przestrzenią topologiczną.\(\displaystyle{ \square}\)

Możemy też wykazać łatwo, że przekrój niepustej rodziny zbiorów symetrycznych względem \(\displaystyle{ 0}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.}\)

Niech \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq \mathbb{A}\subset \mathbb{B} }\). Aby wykazać, że przekrój \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), to zauważmy, że:

\(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}= \left( \left( \bigcap\mathbb{A}\right)' \right)'= \left( \bigcup_{A\in \mathbb{A}} A'\right) '= }\)

i teraz zauważmy, że jeśli \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A} \subset \mathbb{B}}\), to zbiór \(\displaystyle{ A}\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również jego dopełnienie jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), a zatem zbiór \(\displaystyle{ A' }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), i to dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \in \mathbb{A}}\), a zatem:

\(\displaystyle{ \left\{ A': \ A \in\mathbb{A} \right\} \subset \mathbb{B},}\)

a zatem, na mocy faktu udowodnionego powyżej: zbiór \(\displaystyle{ \bigcup_{A \in \mathbb{A}}A' }\) jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), więc również jego dopełnienie jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0}\), co oznacza, że również zbiór \(\displaystyle{ \bigcap\mathbb{A}}\), jako ten sam zbiór, jest zbiorem symetrycznym względem \(\displaystyle{ 0.\square}\)

A więc zbiory symetryczne względem \(\displaystyle{ 0}\) są zamknięte na wszystkie działania mnogościowe, tzn. na sumę dwóch zbiorów, przekrój dwóch zbiorów, różnicę dwóch zbiorów, dopełnienie zbioru i różnicę symetryczną dwóch zbiorów, a także na sumy uogólnione i przekroje uogólnione. 8-)


Z tych zadań z topologii najbardziej zainrteresował mnie poniższy problem:

Niech \(\displaystyle{ \left( X,T _{X}\right) }\) będzie przestrzenią topologiczną. Rozważmy dwa podzbiory spójne \(\displaystyle{ A,B \subset X}\), dwa zbiory spójne, które się krzyżują (tzn. takie, że wszystkie trzy składowe na diagramie Venna są zbiorami niepustymi); a formalnie \(\displaystyle{ A\not \subset B }\) i \(\displaystyle{ B\not \subset A}\), pierwszy zbiór nie zawiera się w drugim i drugi nie zawiera się w pierwszym; i chciałem pokazać, że różnica \(\displaystyle{ A \setminus B}\) jest zbiorem spójnym niepustym.

Niestety, nie musi tak być:
DOWÓD TEGO FAKTU::    
Mam jeszcze pytanie, czy jeśli mamy dwie niepuste przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (i będziemy rozważali na iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y,}\) topologię iloczynu), przy czym przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest spójna, a przestrzeń \(\displaystyle{ Y}\) jest dowolna niepusta, i mamy niepusty podzbiór spójny \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to czy zbiór \(\displaystyle{ X \times B }\) jest zbiorem spójnym??

Niestety, wysiadłem już przy poprzednim zadaniu, więc nie wiem, wie ktoś??


I jeszcze jedno zadanie, którego nie rozwiązałem.

Rozważmy dwie przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ \left( X,\mathcal{T}_X\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \mathcal{T}_Y\right) .}\) Czy w zbiorze \(\displaystyle{ X \cap Y}\) rodzina:

\(\displaystyle{ \mathcal{T} _{X \cap Y}= \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ A \in \mathcal{T}_X, B \in \mathcal{T}_Y \right\} = \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ \left( A,B\right) \in \mathcal{T}_X \times \mathcal{T}_Y \right\} ,}\)

jest topologią na \(\displaystyle{ X \cap Y}\)??

Warunku z sumą mnogościową nie udało się udowodnić, kontrprzykładu też nie znalazłem, także nie wiem. Wie ktoś?

8-)
Ostatnio zmieniony 12 lis 2022, o 20:27 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa tematu.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

Jakub Gurak pisze: 12 lis 2022, o 19:18
Rozważmy dwie przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ \left( X,\mathcal{T}_X\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \mathcal{T}_Y\right) .}\) Czy w zbiorze \(\displaystyle{ X \cap Y}\) rodzina:

\(\displaystyle{ \mathcal{T} _{X \cap Y}= \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ A \in \mathcal{T}_X, B \in \mathcal{T}_Y \right\} = \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ \left( A,B\right) \in \mathcal{T}_X \times \mathcal{T}_Y \right\} ,}\)

jest topologią na \(\displaystyle{ X \cap Y}\)??

Warunku z sumą mnogościową nie udało się udowodnić, kontrprzykładu też nie znalazłem, także nie wiem. Wie ktoś?

8-)
Popatrz na płaszczyznę.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Można jaśniej, konkretniej :?:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory soójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

Czy wnętrze koła na płaszczyźnie jest produktem?
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiory soójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Janusz Tracz »

To co zaraz napisze to moja próba rozwiązania zadania 2. Ja się nie znam na topologii więc to może być bzdura lub mogą tu być poważne luki. Jednak chcę spróbować. Jeśli jest ktoś kompetentny kto to potwierdzi lub pokaże błędy to będzie super. Autor jednak nie powinien traktować tej wypowiedzi jako prawdy objawianej (no chyba, że po potwierdzeniu o ile dopisze mi szczęście).
Jakub Gurak pisze: 12 lis 2022, o 19:18 Mam jeszcze pytanie, czy jeśli mamy dwie niepuste przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ X}\) i \(\displaystyle{ Y}\) (i będziemy rozważali na iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y,}\) topologię iloczynu), przy czym przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest spójna, a przestrzeń \(\displaystyle{ Y}\) jest dowolna niepusta, i mamy niepusty podzbiór spójny \(\displaystyle{ B\subset Y}\), to czy zbiór \(\displaystyle{ X \times B }\) jest zbiorem spójnym??
Uważam, że wystarczy rozstrzygnąć czy produkt przestrzeni spójnych jest spójny w topologii produktowej. Na \(\displaystyle{ X \times B}\) mamy dwie topologie (które okażą się być takie same):
  • topologie podprzestrzeni \(\displaystyle{ X \times B \subseteq X \times Y}\), tj. indukowaną przez topologię produktową na \(\displaystyle{ X \times Y}\). Ta topologia to:
    \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,1}=\left\{ \mathbf{U} \cap \left( X \times B\right): \mathbf{U} \in \tau_{X \times Y} \right\}, }\)

    gdzie \(\displaystyle{ \tau_{X \times Y}=\left\{ U \times V: U\in\tau_X \ \& \ V\in \tau_Y\right\}. }\)
  • Topologię produktową \(\displaystyle{ \tau_X}\), z topologią podprzestrzeni \(\displaystyle{ B \subseteq Y}\) tj. \(\displaystyle{ \tau_B}\). Taka topologia to
    \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,2}=\left\{ U \times V: u\in \tau_X \ \& \ V\in \tau_B\right\}, }\)
    gdzie \(\displaystyle{ \tau_B=\left\{ V \cap B: V\in\tau_Y\right\}. }\)


Możemy zatem zapisać (korzystając po drodze z \(\displaystyle{ ( A \times B ) \cap ( C \times D ) = ( A \cap C ) \times ( B \cap D )}\)):
\begin{equation}
\begin{split}
\tau_{X \times B,1} & =\left\{ \mathbf{U} \cap \left( X \times B\right): \mathbf{U} \in \tau_{X \times Y} \right\} \\
& = \left\{ (U \times V) \cap \left( X \times B\right): U\in\tau_X \ \& \ V\in \tau_Y \right\} \\
& = \left\{ (U \cap X) \times \left( V \cap B\right): U\in\tau_X \ \& \ V\in \tau_Y \right\}
\end{split}
\end{equation}
oraz
\begin{equation}
\begin{split}
\tau_{X \times B,2} & =\left\{ U \times V: u\in \tau_X \ \& \ V\in \tau_B\right\} \\
& = \left\{ U \times (V \cap B) : u\in \tau_X \ \& \ V\in \tau_Y\right\}.
\end{split}
\end{equation}
Jednak jako, że zawsze \(\displaystyle{ U \subseteq X}\) to \(\displaystyle{ U \cap X= U}\). Oznacza to, że \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,1} =\tau_{X \times B,2} }\). To zaś oznacza, że nie ważne czy patrzymy na spójność \(\displaystyle{ B}\) z perspektywy podzbioru \(\displaystyle{ Y}\) czy z perspektywy osobnej przestrzeni spójnej \(\displaystyle{ (B,\tau_B)}\). Aby dokończyć zadanie wystarczy więc stwierdzić, że produkt dwóch przestrzeni spójnych jest spójny. Zachodzi nawet twierdzenie, iż dowolny produkt przestrzeni spójnych jest spójny. Ale nam wystarczy wersja dla dwóch przestrzeni.

Pomyślę nad dowodem tego ostatniego faktu oparty o clopeny (zbiory otwarto domknięte (inne niż \(\displaystyle{ \varnothing,X}\)) które występują wyłącznie w przestrzeniach niespójnych).
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory soójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Janusz Tracz pisze: 12 lis 2022, o 21:10 Na \(\displaystyle{ X \times B}\) mamy dwie topologie
Przepraszam za niejednoznaczność- myślałem, że jest jasne, że chodzi o topologię podprzestrzeni \(\displaystyle{ X \times B \subset X \times Y.}\)
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Janusz Tracz »

Mi raczej chodziło o to, że te dwie topologie i tak są równe. Więc nie ważne czy patrzysz na \(\displaystyle{ X \times B}\) jak na podzbiór \(\displaystyle{ X \times Y}\) i pytasz się o spójność czy patrzysz na \(\displaystyle{ X \times B}\) jak na przestrzeń będącą produktem przestrzeni spójnych. A to, że produkt przestrzeni spójnych jest spójny to znana rzecz.
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory soójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Dzięki Janusz Tracz.

a4karo:
a4karo pisze: 12 lis 2022, o 20:28 Czy wnętrze koła na płaszczyźnie jest produktem?
Nie jest, ale w zacytowanym przez Pana moim zadaniu nie jest mowa o iloczynie kartezjańskim, lecz o przekroju mnogościowym, to nie jest pomyłka. Widziałem analogiczne zadanie do tego dla sumy dwóch przestrzeni topologicznych, więc zastanawia mnie analogiczne zadanie dla przekroju. Ja to lubię niepopularną matematykę. :mrgreen:
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Janusz Tracz »

Ehhhh dobra póki co to i tak zrobiłem głupi błąd... aż wstyd. Bo to jest oczywiste, że \(\displaystyle{ \tau_{X \times Y}}\) takie jak napisałem to nie topologia tylko baza topoli produktowej. Pewnie da się to odratować ale teraz jestem zasmucony swoją głupotą i nie mam siły tego robić.

Dodano po 38 minutach 6 sekundach:
No dobra to da się chyba odratować... zachodzi fakt (choć ja raczej nie powinienem nazywać rzeczy faktami... to są raczej moje urojenia, one mogą być prawdziwe gdy szczęście mi sprzyja ale nie muszą):

Niech \(\displaystyle{ I,J}\) będą zbiorami indeksów dla rodzin \(\displaystyle{ \left\{ A_{\alpha}:\alpha\in I\right\} }\) oraz \(\displaystyle{ \left\{ B_{\beta}:\beta\in J\right\} }\). Zachodzi równość:

\(\displaystyle{ \displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \cap \bigcup_{\beta\in J}B_{\beta}= \bigcup_{\left\langle \alpha,\beta\right\rangle\in I\times J} A_{\alpha}\cap B_{\beta}.}\)
Nie będę tego dowodzić bo to nudne jak flaki z olejem no i jeszcze bym się pomylił. Z tego w szczególności wynika, że można z przekrojem wchodzić pod dowolną sumę tj.:
\(\displaystyle{ \displaystyle \left( \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha} \right) \cap B= \bigcup_{ \alpha \in I} \left( A_{\alpha}\cap B\right) .}\)
I to nas ratuje. Bo jeśli weźmiemy zbiór otwarty w \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,1}}\) to jest on postaci \(\displaystyle{ \left( \bigcup_{\alpha\in I}U_{\alpha} \times V_{ \alpha }\right) \cap (X \times B)}\), a to daje się zasiać jako \(\displaystyle{ \bigcup_{\alpha\in I}U_{\alpha} \times (V_{ \alpha } \cap B)}\), a ten zbiór jest w \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,2}}\). I postępując odwrotnie można pokazać, że zbiory otwarte w \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,2}}\) będą też w \(\displaystyle{ \tau_{X \times B,1}}\). Rachunki są identycznie tylko w druga stronę.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory soójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

Jakub Gurak pisze: 13 lis 2022, o 23:39 Dzięki Janusz Tracz.

a4karo:
a4karo pisze: 12 lis 2022, o 20:28 Czy wnętrze koła na płaszczyźnie jest produktem?
Nie jest, ale w zacytowanym przez Pana moim zadaniu nie jest mowa o iloczynie kartezjańskim, lecz o przekroju mnogościowym, to nie jest pomyłka. Widziałem analogiczne zadanie do tego dla sumy dwóch przestrzeni topologicznych, więc zastanawia mnie analogiczne zadanie dla przekroju. Ja to lubię niepopularną matematykę. :mrgreen:
Nie wiem o jakim zadaniu piszesz, bo żadnego nie cytowałem. Pytałeś czy produkty kartezjańskie zbiorów otwartych są topologią, to spytalem czy kółko wygląda jak produkt kartezjański.
Janusz Tracz wyjaśnił ci różnice między topologią a baza topologii.
Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 10211
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 40 razy
Pomógł: 2359 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Dasio11 »

Jakub Gurak pisze: 12 lis 2022, o 19:18Rozważmy dwie przestrzenie topologiczne \(\displaystyle{ \left( X,\mathcal{T}_X\right) }\) i \(\displaystyle{ \left( Y, \mathcal{T}_Y\right) .}\) Czy w zbiorze \(\displaystyle{ X \cap Y}\) rodzina:

\(\displaystyle{ \mathcal{T} _{X \cap Y}= \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ A \in \mathcal{T}_X, B \in \mathcal{T}_Y \right\} = \left\{ A \cap B\Bigl| \ \ \left( A,B\right) \in \mathcal{T}_X \times \mathcal{T}_Y \right\} ,}\)

jest topologią na \(\displaystyle{ X \cap Y}\)?
Myślę, że a4karo chodzi o następujący kontrprzykład: \(\displaystyle{ X = Y = \mathbb{R}^2}\),

\(\displaystyle{ \begin{align*}
\mathcal{T}_X & = \{ U \times \mathbb{R} : U \subseteq \mathbb{R} \text{ jest otwarty} \}, \\
\mathcal{T}_Y & = \{ \mathbb{R} \times V : V \subseteq \mathbb{R} \text{ jest otwarty} \}.
\end{align*}}\)


Wtedy

\(\displaystyle{ \mathcal{T}_{X \cap Y} = \{ U \times V : U, V \subseteq \mathbb{R} \text{ są otwarte }\}}\)

nie jest topologią, bo wnętrze koła jednostkowego daje się wysumować zbiorami z tej rodziny, ale samo nie jest jej elementem.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

Faktycznie, o to mi chodziło
Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1392
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 60 razy
Pomógł: 83 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Jakub Gurak »

Dasio11 pisze: 14 lis 2022, o 17:42 \(\displaystyle{ \mathcal{T}_{X \cap Y} = \{ U \times V : U, V \subseteq \mathbb{R} \text{ są otwarte }\}}\)
Dasio11 pisze: 14 lis 2022, o 17:42 wnętrze koła jednostkowego daje się wysumować zbiorami z tej rodziny, ...
Mogę prosić o więcej szczegòłòw do tego faktu??
Bo to dość szokująca konstrukcja, jak pierwszy raz usłyszałem na studiach (magisterskich), że suma prostokątòw może dawać koło otwarte, to byłem w szoku- i dalej mnie to zadziwia. Mogę prosić o więcej szczegółòw :?:
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22171
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: a4karo »

No chyba żartujesz.
Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4060
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 79 razy
Pomógł: 1391 razy

Re: Zbiory spójne, przestrzenie topologiczne

Post autor: Janusz Tracz »

klik
c72dd170-f760-4655-9b52-8fda01375259.gif
ODPOWIEDZ