Tomasz22 pisze: 12 lis 2022, o 14:27
Tak, dokładnie o to mi chodzi. Czyli wystarczy policzyć granicę z lewej strony i z prawej przy
\(\displaystyle{ n \rightarrow \infty }\)?? Takie to proste i niepotrzebnie sobie skomplikowałem sprawę??? A
\(\displaystyle{ a}\) może być dowolne (z liczb rzeczywistych a prawdopodobnie nawet zespolonych), bo cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, więc całość po prawej do
\(\displaystyle{ e^{0}}\) czyli 1 a po lewej cokolwiek przez nieskończoność dąży do 0, nawias do 1 i
\(\displaystyle{ 1^{a}=1}\)???
Ogólnie to zgadzam się z tym co
a4karo Ci odpowiedział. To nie jest do końca tak jak mówisz dlatego prosiłem o pełen kontekst i dokładne sformowanie o jaki sens przybliżenia Ci chodzi. Ja pokazałem Ci tylko, że granice są równe. Z porównywaniem ciągów
\(\displaystyle{ a_n,b_n}\) dążących do nieskończoności nie ma większych problemów bo można zbadać przykładowo
\(\displaystyle{ a_n/b_n}\) lub
\(\displaystyle{ |a_n-b_n|}\) by zrozumieć asymptotyczne tempo. Z ciągami zbieżnymi te metody (miary tempa) nie mają sensu bo mamy arytmetykę granic. Więc przykładowo sensownym sposobem badania tempa zbieżności dla ciągów zbieżnych byłoby policzenie granicy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n^{\xi}\left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| }\)
w zależności od
\(\displaystyle{ \xi}\). Jako, że ciągi
\(\displaystyle{ (1-1/n)^a, e^{-a/n}}\) są zbieżne do
\(\displaystyle{ 1}\) mamy tu symbol
\(\displaystyle{ \infty \cdot 0}\) (zakładam, że
\(\displaystyle{ \xi>0}\)). Taka granica powie coś o tempie zbieżności. Bo pomiędzy
\(\displaystyle{ (1-1/n)^a}\), a
\(\displaystyle{ e^{-a/n}}\) jest trochę 'miejsca', a mu się dowiemy jak szybko to miejsce zanika wraz ze wzrostem
\(\displaystyle{ n}\). Więc te małe wartości
\(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right|}\) próbujemy rozdmuchać czymś dużym
\(\displaystyle{ n^{\xi}}\). Tylko nie wiadomo jak dużym
\(\displaystyle{ n^{2}}\) czy
\(\displaystyle{ n^{10}}\) wstawić aby granica stała się nieskończona? I to jest jakiś przykładowy sens porównywania ciągów zbieżnych. Tu mamy (dla
\(\displaystyle{ a \neq 0}\)):
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }n^{\xi}\left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| =\begin{cases}0 & \xi <2\\a/2 & \xi=2 \\ \infty & \xi>2\end{cases} }\)
bo rozwinięcia Taylora
\(\displaystyle{ (1-x)^a- e^{-ax} }\) wokół
\(\displaystyle{ 0}\) to
\(\displaystyle{ -a x^2/2+(3 a^2-2 a)/6 x^3+O(x^4)}\). Innymi słowy sensowne byłoby powiedzieć, że
\(\displaystyle{ (1-1/n)^a \approx e^{-a/n}}\), a błąd przybliżenia jest w okolicach
\(\displaystyle{ a/(2n^2) }\). Tylko, że ja to sobie teraz wszystko wymyśliłem bo sensownie wygląda i dalej nie wiem czy Tobie też o to chodził. Może masz na myśli inne rodzaj badania tempa.
Jeszcze rysuneczki dla przykładu:
Na niebiesko \(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| }\), dla \(\displaystyle{ a=3.17}\) na pomarańczowo \(\displaystyle{ 3.17/(2n^2)}\).
Jeśli pominąć stałą
\(\displaystyle{ -a/2}\) przy
\(\displaystyle{ 1/n^2}\) to też widać dlaczego
\(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| }\) zachowuje się jak
\(\displaystyle{ 1/n^2}\) (z dokładnością do stałej multiplikatywnej):
Na niebiesko \(\displaystyle{ \left| (1-1/n)^a- e^{-a/n} \right| }\), dla \(\displaystyle{ a=3.17}\) na pomarańczowo \(\displaystyle{ 1/n^2}\). Tym razem dla \(\displaystyle{ 100 \le n \le 1000.}\)
