Możesz też zamiast zupełnie zgadywać (co w tym przypadku pewnie zadziała równie dobrze) postąpić bardziej systematycznie i skorzystać z faktu, że grupa generowana jest podgrupą. To pozwala podgrupy generować. Ogólnie podgrupa grupy
\(\displaystyle{ G}\) generowana przez
\(\displaystyle{ A}\) ma postać
\(\displaystyle{ \left\langle A\right\rangle=\left\{ a_1^{k_1}a_2^{k_2}...a_n^{k_n}: n\in \NN \ \& \ k_i\in \ZZ \ \& \ a_i\in A \right\} }\)
co można przyjąć za definicję lub sprawdzić, że jest to najmniejsza w sensie inkluzji grupa zawierająca
\(\displaystyle{ A}\). Wracając do przykładu. Rozważmy podgrupy
\(\displaystyle{ \Phi_8}\), będące grupami generowanymi przez jeden element. Te grupy to
\(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle, \left\langle 3\right\rangle, \left\langle 5\right\rangle, \left\langle 7\right\rangle}\). Od razu widać, że
\(\displaystyle{ \left\langle 1\right\rangle}\) to po prostu grupa trywialna złożona z elementu neutralnego. Jednak pozostałe to odpowiednio
\(\displaystyle{ \left\{ 1,3\right\} }\),
\(\displaystyle{ \left\{ 1,5\right\} }\) oraz
\(\displaystyle{ \left\{ 1,7\right\} }\) bo
\(\displaystyle{ 3 \cdot 3=1}\),
\(\displaystyle{ 5 \cdot 5=1}\) oraz
\(\displaystyle{ 7 \cdot 7=1}\) w
\(\displaystyle{ \Phi_8}\). I to są nasze podgrupy które zostały wygenerowane z jednego elementu. Teraz zastanówmy się nad podgrupami które są wygenerowane z dwóch elementów
\(\displaystyle{ \Phi_8}\). Aby sytuacja była ciekawa załóżmy, że dwa z tych elementów są równe od
\(\displaystyle{ 1}\) (bo gdyby jakiś był
\(\displaystyle{ 1}\) to wracamy się do wcześniejszej sytuacji). I teraz zauważmy, że w
\(\displaystyle{ \Phi_8}\) mamy równość
\(\displaystyle{ x \cdot y=z}\), gdzie pod
\(\displaystyle{ x}\),
\(\displaystyle{ y}\),
\(\displaystyle{ z}\) możesz wstawić
\(\displaystyle{ 3}\),
\(\displaystyle{ 5}\),
\(\displaystyle{ 7}\) w dowolnej kolejności. To zaś oznacza, że grupa generowana na dwóch nietrywialnych elementach już jest całością czyli
\(\displaystyle{ \Phi_8}\). Na koniec rysuneczek
Przy czym to co jest niżej to jest podgrupa grupy wyżej.
PS jak się definiuje grupę to poza podaniem zbioru warto jeszcze pobadać działanie. Ja się domyślałem od samego początku o co może chodzić ale i tak wolałem dopytać bo nie znam tych oznaczeń. Pewnie
\(\displaystyle{ \Phi_n}\) to znane oznaczenie i to jest chyba to samo co
\(\displaystyle{ \ZZ_n^{ \times }}\). Ale i tak musiałem się domyślać bo nie podałaś działania. Domyśliłem się, że to mnożenie
\(\displaystyle{ \text{mod } 8}\) jakby co.