Nie chciałbym psuć Jakubowi zabawy, ale gdzieś to już widziałem i coś mi się przypomniało. Przeglądając przykładowe egzaminy magisterskie (jakoś rok temu) natknąłem się na takie zadanie:
3. Uzasadnij, że dla każdego \(\gamma \in \mathbb{R}\) istnieje ciąg \( \alpha_{n}\in \mathbb{Q}\) zbieżny do \(\gamma\). Za pomocą tego faktu udowodnij, że istnieje rodzina podzbiorów \(\mathbb{N}\) mocy continuum taka, że każde dwa jej elementy mają skończony przekrój.
Myślę, że udało mi się je wtedy rozwiązać, spróbuję zrobić to jeszcze raz. Byłbym wdzięczny, gdyby ktoś mi potwierdził, że jest dobrze.
Pierwsza część to znany fakt, możemy powiedzieć nawet trochę więcej: dla każdego \(\gamma \in \mathbb{R}\) istnieje ciąg liczb wymiernych \(a_{n}\neq \gamma\) zbieżny do \(\gamma\).
Dla \(\gamma \in \mathbb{R}\) niech \(f_{\gamma}: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{Q}\), \(f_{\gamma}(n)=\frac{\lfloor n\gamma \rfloor}{n}-\frac{1}{n}\). Wtedy \((\forall n\in \mathbb{N}) \ f_{\gamma}(n) < \gamma\) oraz \( \lim_{n \to \infty} f_{\gamma}(n)=\gamma\). Ustalmy \(x, y\in \mathbb{R}\), takie że \(x\neq y\) i rozważmy zbiory \(A_{x}=\lbrace f_{x}(n): \ n\in \mathbb{N}\rbrace\), \(A_{y}=\lbrace f_{y}(n): \ n\in \mathbb{N}\rbrace\). Korzystając ze zbieżności ciągów \(f_{x}, f_{y}\) możemy stwierdzić, że istnieje \(N\) takie, że dla \(n \ge N\) mamy \(f_{x}(n)\in (x-\frac{|x-y|}{2}, \ x+\frac{|x-y|}{2})\) i \(f_{y}(n)\in (y-\frac{|x-y|}{2}, \ y+\frac{|x-y|}{2})\) - są to przedziały rozłączne, więc \(f_{x}\) i \(f_{y}\) mają tylko skończenie wiele wspólnych wyrazów. Przekrój \(A_{x}\cap A_{y}\) jest więc skończony. Co więcej, zbiór \(A_{x}\) jest nieskończony (wynika to z tego, że wyrazy naszych ciągów są różne od swoich granic). Możemy więc powiedzieć, że istnieje \(q\in A_{x}\setminus A_{y}=A_{x}\setminus(A_{x}\cap A_{y})\), zatem zbiory \(A_{x}, A_{y}\) są różne.
Teraz, dla dowolnego \(x\in \mathbb{R}\) niech \(A_{x}=\lbrace f_{x}(n): \ n\in \mathbb{N}\rbrace\). Rodzina \(\mathcal{C}=\lbrace A_{x}: \ x\in \mathbb{R} \rbrace \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{Q}) \) jest rodziną mocy continuum (funkcja przypisująca każdemu \(x\in \mathbb{R}\) zbiór \(A_{x}\) jest bijekcją pomiędzy \(\mathbb{R}\) a \(\mathcal{C}\)) zbiorów parami prawie rozłącznych.
Weźmy injekcję \(g: \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{N}\). Wtedy dla różnych \(x,y \in \mathbb{R}\) mamy \(g[A_{x}]\neq g[A_{y}]\) oraz \(g[A_{x}]\cap g[A_{y}]=g[A_{x}\cap A_{y}]\) jest skończony, jako obraz zbioru skończonego przez funkcję.
Rodzina \(\mathcal{R}=\lbrace g[A_{x}]: \ x\in \mathbb{R} \rbrace \subseteq \mathcal{P}(\mathbb{N}) \) jest zatem rodziną mocy continuum parami prawie rozłącznych podzbiorów \(\mathbb{N}\).
Nadaję się na teoretyka?
Pozdrawiam