Matematyka.pl

\(\displaystyle{ f, g}\) - permutacje zbioru \(\displaystyle{ X=\{1,2...,14\}}\)
\(\displaystyle{ f = {1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14 \choose14-1-4-6-8-13-2-11-9-10-12-5-7-3} }\)
\(\displaystyle{ g = {1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12-13-14 \choose 7-13-6-14-11-3-1-12-10-9-5-8-2-4} }\)

Rozłóź na cykle rozłączne permutację \(\displaystyle{ h=(fg)^{-1}}\)

Z moich obliczeń wychodzi, że
\(\displaystyle{ fg = (1,4,3,14,6,2,7,13)(5,12,11,8)(9,10)\\
h = (1,13,7,2,6,14,3,4)(5,8,11,12)(9,10)}\)

Czy to jest dobrze?

\(\displaystyle{ f = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 & 12 & 13 & 14 \\14 & 1 & 4 & 6 & 8 & 13 & 2 & 11 & 9 & 10 & 12 & 5 & 7 & 3 \end{matrix} \right) }\)

\(\displaystyle{ g = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 & 12 & 13 & 14 \\7 & 13 & 6 & 14 & 11 & 3 & 1 & 12 & 10 & 9 & 5 & 8 & 2 & 4 \end{matrix} \right) }\)

Mamy rozłożyć permutacje \(\displaystyle{ h = ( f\circ g)^{-1} }\) na iloczyn rozłącznych permutacji cyklicznych.

Najpierw znajdujemy permutację złożoną \(\displaystyle{ h^{-1} = f\circ g.}\)

\(\displaystyle{ h^{-1} = f\circ g :}\)

\(\displaystyle{ g(1) = 7, \ \ f(7) = 2 \rightarrow (f\circ g)(1) = 2 }\)

\(\displaystyle{ g(2) = 13, \ \ f(13) = 7 \rightarrow (f\circ g)(2) = 7 }\)

\(\displaystyle{ g(3) = 6, \ \ f(6) = 13 \rightarrow (f\circ g)(3) = 13 }\)

\(\displaystyle{ g(4) = 14, \ \ f(14) = 3 \rightarrow (f\circ g)(4) = 3 }\)

\(\displaystyle{ g(5) = 11, \ \ f(11) = 12 \rightarrow (f\circ g)(5) = 12 }\)

\(\displaystyle{ g(6) = 3, \ \ f(3) = 4 \rightarrow (f\circ g)(6) = 4 }\)

\(\displaystyle{ g(7) = 1, \ \ f(1) = 14 \rightarrow (f\circ g)(7) = 14 }\)

\(\displaystyle{ g(8) = 12, \ \ f(12) = 5 \rightarrow (f\circ g)(8) = 5 }\)

\(\displaystyle{ g(9) = 10, \ \ f(10) = 10 \rightarrow (f\circ g)(9) = 10 }\)

\(\displaystyle{ g(10) = 9, \ \ f(9) = 9 \rightarrow (f\circ g)(10) = 9 }\)

\(\displaystyle{ g(11) = 5, \ \ f(5) = 8\rightarrow (f\circ g)(11) = 8 }\)

\(\displaystyle{ g(12) = 8, \ \ f(8) = 11\rightarrow (f\circ g)(12) = 11 }\)

\(\displaystyle{ g(13) = 2, \ \ f(2) = 1\rightarrow (f\circ g)(13) = 1 }\)

\(\displaystyle{ g(14) = 4, \ \ f(4) = 6\rightarrow (f\circ g)(14) = 6 }\)

\(\displaystyle{ h^{-1} = f\circ g = \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 &10 &11 & 12 & 13 & 14 \\2 & 7 & 13 & 3 & 12 & 4 & 14 & 5 & 10 & 9 & 8 & 11 & 1 & 6 \end{matrix} \right) }\)

Następnie znajdujemy permutację odwrotną do permutacji złożonej \(\displaystyle{ h = (f\circ g)^{-1}: }\)

\(\displaystyle{ h = (f\circ g)^{-1} = \left( \begin{matrix} 2 & 7 & 13 & 3 & 12 & 4 & 14 & 5 & 10 & 9 &8 & 11 & 1 & 6 \\1 &2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 \end{matrix} \right) = }\)

\(\displaystyle{ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 \\13 &1 & 4 & 6 & 8 & 14 & 2 & 11 & 10 & 9 & 12 & 5 & 3 & 7 \end{matrix} \right) }\)

Przedstawiamy permutację \(\displaystyle{ h = (f\circ g)^{-1} }\) w postaci iloczynu rozłącznych permutacji cyklicznych:


\(\displaystyle{ \left( \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 &11 & 12 & 13 & 14 \\13 &1 & 4 & 6 & 8 & 14 & 2 & 11 & 10 & 9 & 12 & 5 & 3 & 7 \end{matrix} \right) = (1,13,3,4,6,14,7,2)\cdot (5,8,11,12) \cdot (9,10).}\)

Dodano po 24 minutach 31 sekundach:
Te myślniki w permutacjach \(\displaystyle{ f, g }\) nie powinny występować.