Matematyka.pl

Dzień dobry !

Mam problem ze zrozumieniem liczb zespolonych a bardziej szczegółowo to z zrozumieniem jak się liczy ilość rozwiązań dla danego równania z liczbami zespolonymi.

Dla przykładu coś takiego :

Tutaj z tego zadania mamy że są 3 rozwiązania.

A dla pierwiastków jest tak że w zależności od potęgi pierwiastka to mamy taką ilość rozwiązań.
np tutaj :

I tutaj pierwiastek z 3 tej liczby daje 3 rozwiązania.

To czemu używa się pierwiastków ?
Skoro mogę mieć ile chcę rozwiązań tego równania.

Albo inaczej, Po co się stosuje pierwiastki ? Gdybym miał działanie jak w pierwszym obrazku gdzie jeszcze dodam pierwiastek to co wtedy się dzieje ? Bo trochę nie rozumiem czemu mam ileś tam rozwiązań bez pierwiastków i określoną ilość rozwiązań z pierwiastkiem.

Przepraszam za tak głupie pytanie. Trochę nie rozumiem po co są pierwiastki itp.

Mam wrażenie że mieszasz pojęcie "pierwiastek równania" z pojęciem "pierwiastek z liczby".

JK

Możliwe ale dalej jakby nie rozumiem tutaj różnicy miedzy używania tego pierwiastka a liczenie tego na piechotę. Bo w pierwszym zdjęciu jest to liczone na piechotę rozwiązania równania gdzie z ma ileś tam rozwiązań. A korzystając z pierwiastka mamy określoną liczbę tych rozwiązań.

Czy ktoś jest w stanie mi powiedzieć jaka jest tam różnica bo trochę nie rozumiem tego pierwiastka.

Dodano po 51 minutach 44 sekundach:
Bo trochę się pogubiłem w tym fakcie i czy ktoś mógłby mnie nakierować, np dać jakiś przykład i powiedzieć jaka jest różnica między pierwszym a drugim zdjęciem ?

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 16:47powiedzieć jaka jest różnica między pierwszym a drugim zdjęciem ?

Różnią się metoda rozwiązania równania (w ćwiczeniu 6.6 masz rozwiązać równanie \(\displaystyle{ z^3=8j}\)). Zazwyczaj dobierasz taką metodę rozwiązania równania, która jest najwygodniejsza. Zauważ, że równanie z ćw. 6.6 możesz rozwiązywać podobnie, jak równanie z ćw. 5.2, ale to będzie dużo mniej wygodne, niż przedstawiona na zdjęciu metoda.

JK

Tylko że w ćw 5.2 jakbym zrobił pierwiastek z 2 to powinienem mieć dwa rozwiązania a są 3.
Natomiast w ćw 6.6 mam pierwiastek 3 stopnia więc mam 3 rozwiązania.

Teoretycznie powinienem mieć 2 rozwiazania dla 5.2 jakbym miał pierwiastek 2 stopnia.
A w ćw 6.6 tam mam tylko z = liczba, a w 5.2 mam z = liczba z "z".

Troszeczkę się pogubiłem

Ale przecież pierwsze równanie nie jest równaniem postaci `z^2=a`, więc metoda stosowana w tym przypadku może nie mieć zastosowania. Podobnie jak wnioski dotyczące ilości rozwiązań

Nie rozumiem ?

To w takim razie jak jest różnica między tym z pierwiastkiem a tym bez. I od czego zależy ilość rozwiązań ? Bo jak w jednym było 3 rozwiązania pomimo że `z^2` to nie za bardzo wiem jak to wszystko poukładać w logiczną całość.

Może macie jakieś przykłady z tym jaka jest różnica i kiedy się stosuje jedno a kiedy drugie ?

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 19:09 Nie rozumiem ?

Czego?

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 19:09 To w takim razie jak jest różnica między tym z pierwiastkiem a tym bez. I od czego zależy ilość rozwiązań ? Bo jak w jednym było 3 rozwiązania pomimo że `z^2` to nie za bardzo wiem jak to wszystko poukładać w logiczną całość.

Nie do każdej sytuacji znajdziesz regułkę.

Twierdzenie mówi, że każdy wielomian zmiennej zespolonej ma dokładnie tyle pierwiastków, ile wynosi jego stopień i to jest sytuacja z ćw. 6.6.

Ale nie każde równanie dotyczące liczb zespolonych jest równaniem wielomianowym (czyli postaci \(\displaystyle{ W(z)=0}\), gdzie \(\displaystyle{ W}\) jest wielomianem). Mogą być różne inne sytuacje, np. taka, jak w ćw. 5.2.

JK

Może trochę tego nie rozumiem bo patrzę na zadanie z ćw 6.6

Tam jest że w = 8j

Więc `z^3 = 8j`

Tak samo jest w ćwiczeniu 5.2

`z^2 = jRe{z}` czyli `z^2 = jx`

Jedno i drugie wygląda tak samo więc nie wiem czemu ta zasada nie działa.
Przepraszam z góry jeśli nie zauważyłem czegoś oczywistego.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 19:44 Tak samo jest w ćwiczeniu 5.2

`z^2 = jRe{z}` czyli `z^2 = jx`

Jedno i drugie wygląda tak samo więc nie wiem czemu ta zasada nie działa.

No skąd, w ogóle nie wygląda tak samo. Wiesz, co to jest wielomian?

Poza tym nieprawdą jest, że "\(\displaystyle{ z^2 = j\;\Re(z)}\) czyli \(\displaystyle{ z^2 = jx}\)". W tym równaniu nie ma żadnego \(\displaystyle{ x}\) i nigdy nie będzie. Możesz wprawdzie zrobić podstawienie \(\displaystyle{ z=x+jy}\), ale wtedy dostaniesz \(\displaystyle{ (x+jy)^2=jx,}\) a to zupełnie co innego.

JK

To jak zrozumieć to `z^2 = jRe{z}` ? Skoro to jak za z dam \(\displaystyle{ z=x+jy}\)

Co do wielomianów to chodzi chyba o taką postać z liczbami rzeczywistymi :

Więc nie rozumiem za bardzo pytania w stylu co to wielomian. W tym `z^3 = j8` to jest wielomian jak rozumiem ale w tym już nie ? `z^2 = jRe{z}`można chyba robić pierwiastki drugiego stopnia.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26 To jak zrozumieć to `z^2 = jRe{z}` ?

Tak jak jest napisane. Nie rozumiem pytania.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26Skoro to jak za z dam \(\displaystyle{ z=x+jy}\)

To podstawienie jest już metodą, która prowadzi do rozwiązania tego równania.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26 Co do wielomianów to chodzi chyba o taką postać z liczbami rzeczywistymi :

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26 Więc nie rozumiem za bardzo pytania w stylu co to wielomian.

hodziło mi o definicję wielomianu:

Kod: Zaznacz cały

pl.wikipedia.org/wiki/Wielomian

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26 W tym `z^3 = j8` to jest wielomian

Nie to, tylko \(\displaystyle{ z^3-8j}\), a zadanie polega na wyznaczeniu tegoż wielomianu pierwiastków.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 20:26 ale w tym już nie ? `z^2 = jRe{z}`można chyba robić pierwiastki drugiego stopnia.

Tak, wyrażenie \(\displaystyle{ z^2-j\cdot\Re(z)}\) nie jest wielomianem - przyjrzyj się powyższej definicji wielomianu, może zrozumiesz dlaczego.

Nie wiem, co masz na myśli pisząc "można chyba robić pierwiastki drugiego stopnia".

JK

Przeczytałem i dalej pustka w głowie.
Nie wiem czemu to nie jest wielomianem : \(\displaystyle{ z^2-j\cdot\Re(z)}\). Czuję się dosyć głupio szczerze mówiąc.

"Nie wiem, co masz na myśli pisząc "można chyba robić pierwiastki drugiego stopnia"." Chodziło mi wtedy o to że można liczyć ze wzoru dla pierwiastków liczb zespolonych każdego stopnia (1,2,3 itd.). Tutaj jest \(\displaystyle{ z^2}\) Więc powinny być dwa rozwiązania idąc logiką że pierwiastkujemy obustronnie.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 22:12 Przeczytałem i dalej pustka w głowie.
Nie wiem czemu to nie jest wielomianem : \(\displaystyle{ z^2-j\cdot\Re(z)}\).

Obawiam się, że nikt Ci nigdy nie mówił, że te wszystkie znaczki w matematyce zawsze coś znaczą, a rozwiązywanie zadań z matematyki nie polega na żonglerce znaczkami. Jak ja Ci mam pomóc, jak nie rozumiesz, co to jest wielomian? Czego nie rozumiesz w punkcie "Definicja" na zalinkowanej stronie?

Jak miałbym podać Ci jakąś analogię z liczb rzeczywistych, to może tak: czy rozumiesz, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-5x+3}\) jest wielomianem, a wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+2\sqrt{x}-3}\) nie jest?

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 22:12 Chodziło mi wtedy o to że można liczyć ze wzoru dla pierwiastków liczb zespolonych każdego stopnia (1,2,3 itd.).

Nie można, bo wyrażenie \(\displaystyle{ j\cdot\Re(z)}\) zawiera niewiadomą, więc jak chcesz liczyć jakiekolwiek pierwiastki? W ćwiczeniu 6.6 masz sytuację \(\displaystyle{ z^3=\text{liczba}}\), więc możesz liczyć pierwiastki z \(\displaystyle{ \text{liczby}}\), w ćw. 5.2 sytuacja jest zupełnie inna.

Xenon02 pisze: 6 lis 2022, o 22:12Tutaj jest \(\displaystyle{ z^2}\) Więc powinny być dwa rozwiązania idąc logiką że pierwiastkujemy obustronnie.

Logika nie ma tu nic do rzeczy, to raczej na myślenie magiczne. To, że w równaniu występuje gdzieś \(\displaystyle{ z^2}\) nie oznacza jeszcze, że będą dwa rozwiązania.

I znów analogia z liczb rzeczywistych: mając równanie \(\displaystyle{ x^2=4}\) masz dwa rozwiązania (bo "liczysz pierwiastki (algebraiczne) liczby \(\displaystyle{ 4}\)", rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|=2 }\)), ale jak masz równanie \(\displaystyle{ x^2=10\sqrt{x^2}}\), to rozwiązania są trzy.

JK

Jan Kraszewski pisze: 6 lis 2022, o 23:06 Czego nie rozumiesz w punkcie "Definicja" na zalinkowanej stronie?

Jak miałbym podać Ci jakąś analogię z liczb rzeczywistych, to może tak: czy rozumiesz, że wyrażenie \(\displaystyle{ x^2-5x+3}\) jest wielomianem, a wyrażenie \(\displaystyle{ x^2+2\sqrt{x}-3}\) nie jest?

To co wyczytałem z wikipedii to jest to że jest to suma jednomianów, a jednomiany to jak rozumiem konkretna liczba i zmienne o różnych potęgach lub braku tych potęg. Więc np \(\displaystyle{ \sin x}\) nie jest jednomianem bo sin to nie jest liczba jak dobrze rozumiem ? Albo \(\displaystyle{ 2^{x}}\) bo x nie jest przy dwójce tylko jest jako potęga ?

To tak samo jest z \(\displaystyle{ jRe(z)}\) ? Bo to nie jest konkretna liczba koło zmiennej ? W sumie to nie wiem jak interpretować to \(\displaystyle{ jRe{z}}\), ponieważ w sumie liczba rzeczywista z "z" to jest jakaś liczba czyli \(\displaystyle{ liczba \cdot liczba}\) czyli niby jednomian chyba że coś znowu pomerdałem.

Jan Kraszewski pisze: 6 lis 2022, o 23:06
Nie można, bo wyrażenie \(\displaystyle{ j\cdot\Re(z)}\) zawiera niewiadomą, więc jak chcesz liczyć jakiekolwiek pierwiastki? W ćwiczeniu 6.6 masz sytuację \(\displaystyle{ z^3=\text{liczba}}\), więc możesz liczyć pierwiastki z \(\displaystyle{ \text{liczby}}\), w ćw. 5.2 sytuacja jest zupełnie inna.

To znaczy jak mamy np \(\displaystyle{ x^3+2x^2+1 = 0}\) no to niby wielomian i z tego jakoś się to liczy.
Więc skoro \(\displaystyle{ jRe(z)}\) to jest zmienna to niby się zgadza z definicją że to jest jakiś jednomian czyli liczba * zmienna w jakiejś potędze.
(nie wiem czy to będzie tak trochę od czapy) ale skoro \(\displaystyle{ 2\cdot x\cdot y}\) to też jednomian to chyba zmienne tutaj nie mają znaczenia ile ich jest koło liczby. A że skoro \(\displaystyle{ jRe(z)}\) to też jest liczba "j" razy zmienna "Re(z)" to chyba się zgadza ?

Mogę się mylić i to bardzo.

Jan Kraszewski pisze: 6 lis 2022, o 23:06 Logika nie ma tu nic do rzeczy, to raczej na myślenie magiczne. To, że w równaniu występuje gdzieś \(\displaystyle{ z^2}\) nie oznacza jeszcze, że będą dwa rozwiązania.

I znów analogia z liczb rzeczywistych: mając równanie \(\displaystyle{ x^2=4}\) masz dwa rozwiązania (bo "liczysz pierwiastki (algebraiczne) liczby \(\displaystyle{ 4}\)", rozwiązując równanie \(\displaystyle{ \sqrt{x^2}=|x|=2 }\)), ale jak masz równanie \(\displaystyle{ x^2=10\sqrt{x^2}}\), to rozwiązania są trzy.

Rozumiem że \(\displaystyle{ x^2=10\sqrt{x^2}}\) nie jest równaniem wielomianowym ? Więc dlatego jest więcej rozwiązań ? Bo dla np \(\displaystyle{ x^3+2x^2+1 = 0}\) to tutaj są 3 rozwiązania ?

Matematyka.pl

Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.

Re: Liczby zespolone ilość rozwiązań.