Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ m, n \in \ZZ}\) będą względnie pierwsze. Wyznacz
\(\displaystyle{ NWD(5^m+7^m,5^n+7^n).}\)

Jak to zrobić? Może mi ktoś pomóc?

Dodano po 1 dniu 13 godzinach 55 minutach 19 sekundach:
Czy może mi ktoś z tym pomóc?

Dodano po 2 godzinach 38 minutach 25 sekundach:
Jak to ugryźć?

Sprawdź sobie, że:

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod 2}\)

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \vee 2 \mod 4}\)

\(\displaystyle{ 5^n+7^n \neq 0 \mod 8}\)

Więc kandydatami na NWD może być 2 lub 4

arek1357 pisze: ↑17 gru 2022, o 21:48 Więc kandydatami na NWD może być 2 lub 4

A co z nieparzystymi dzielnikami? Jakoś przegapiłem to w Twoim rozwiązaniu albo tego nie napisałeś.

jakie np?

Dodano po 4 godzinach 1 minucie 32 sekundach:
Jeżeli założysz, że istnieje takie \(\displaystyle{ p \neq 2}\) pierwsze

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod p}\)

i

\(\displaystyle{ 5^m+7^m=0 \mod p}\)

oraz:

\(\displaystyle{ (n,m)=1}\)

Masz z pierwszego:

\(\displaystyle{ 7^n=-5^n}\)

a do tego skoro n,m względnie pierwsze mamy:

\(\displaystyle{ \alpha n+\beta m=1}\)

(*) \(\displaystyle{ \beta m=1-\alpha n}\)

i teraz zabawa:

\(\displaystyle{ 5^n=-7^n/^{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 5^{\alpha n}=(-1)^{\alpha}7^{\alpha n}}\)

to samo:

\(\displaystyle{ 5^{\beta m}=(-1)^{\beta}7^{\beta m}}\)

po podstawieniu (*) mamy:

\(\displaystyle{ 5 \cdot \frac{1}{5^{\alpha n}} =(-1)^{\beta} \cdot 7 \cdot \frac{1}{7^{\alpha n}}}\)

Po skróceniu otrzymasz:

\(\displaystyle{ 5=(-1)^{\alpha +\beta} \cdot 7}\)

I co z tego otrzymujesz, że:

\(\displaystyle{ 5=7 \vee 5=-7}\)

Jedno i drugie prowadzi do sprzeczności...

Milcząco zakładałem, że:

\(\displaystyle{ p \neq 5 \wedge p \neq 7}\)

jeżeli założysz, że np.:

\(\displaystyle{ p=5}\)

Też będzie jawna sprzeczność...

Czy coś jeszcze?

Oczywiście zadania specjalnie nie skończyłem, żeby autor też coś pomyślał, jednak przez swoje trzy grosze nie pozwoliłeś, żeby autor sobie to zadanie do końca rozwiązał, co nie było do końca moim celem... no ale inni wiedzą lepiej...

arek1357 pisze: ↑18 gru 2022, o 23:22 jakie np?

Dodano po 4 godzinach 1 minucie 32 sekundach:
Jeżeli założysz, że istnieje takie \(\displaystyle{ p \neq 2}\) pierwsze

\(\displaystyle{ 5^n+7^n=0 \mod p}\)

i

\(\displaystyle{ 5^m+7^m=0 \mod p}\)

oraz:

\(\displaystyle{ (n,m)=1}\)

Masz z pierwszego:

\(\displaystyle{ 7^n=-5^n}\)

a do tego skoro n,m względnie pierwsze mamy:

\(\displaystyle{ \alpha n+\beta m=1}\)

(*) \(\displaystyle{ \beta m=1-\alpha n}\)

i teraz zabawa:

\(\displaystyle{ 5^n=-7^n/^{\alpha}}\)

\(\displaystyle{ 5^{\alpha n}=(-1)^{\alpha}7^{\alpha n}}\)

to samo:

\(\displaystyle{ 5^{\beta m}=(-1)^{\beta}7^{\beta m}}\)

po podstawieniu (*) mamy:

\(\displaystyle{ 5 \cdot \frac{1}{5^{\alpha n}} =(-1)^{\beta} \cdot 7 \cdot \frac{1}{7^{\alpha n}}}\)

W tej zabawie się chyba trochę zapędziłeś - ułamki słabo przystają modulo

Nie bardzo cię rozumiem...przecież jest to ciało i mogę tworzyć ułamki...

czy zapiszę coś tak: \(\displaystyle{ a^{-n} }\)

czy tak:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a^n} }\)

To według przesłanek jest to to samo...w ciele skończonym...

Podejrzewam, że nie wiesz na jakim poziomie autor posta opanował matematykę

No właśnie może się pogubiłem ale może temat pociągniesz poupraszczasz...Bo sam nie wiem co może być i jak autor zareaguje

Dodano po 3 godzinach 13 minutach 55 sekundach:
Najlepiej jak sam autor się wypowie...

Dodam tylko od siebie, że ciało jest to dość fajna struktura w której można produkować ułamki a mówiąc językiem zrozumiałym każdy element ma swój odwrotny oprócz zera...

Gorzej jest w pierścieniu bo pojawią się prawie na pewno dzielniki zera i ułamka a więc odwrotności już tak łatwo nie wyprodukuję, no chyba,
że wezmę elementy odwracalne ale to już kłopot...
Z tego względu wziąłem liczbę pierwszą a nie dowolną nieparzystą co dało mi większe możliwości...
I z kolejnych wiadomości dla autora to to, że pierścienie są strukturami czasem dość pokracznymi w stosunku do ciała...