Matematyka.pl

Pokaż, że trójkąt można tak umieścić na nieskończonej szachownicy, że wszystkie jego wierzchołki będą czarne.

jakiś konkretny trójkąt czy dowolny?

Dowolny

Tak to brzmi w oryginale, rozwiązania nie wrzucam żeby nie psuć zabawy :


Problem 71-6, Triangle on a Checkerboard, by D. J. NEWMAN (Yeshiva
University).

Given a triangle and an infinite black and white checkerboard, show that the
triangle can be placed on the board with all its vertices strictly in the black.

A granicą pomiędzy polami szachownicy jest biała czy czarna?

Nieistotne. Możesz przyjąć, że lewe i dolne kawałek (z jednym końcem)są białe, a pozostałe czarne

Umieszczam wierzchołki A i B na czarnej przekątnej szachownicy (na jej osi symetrii) i przesuwam wzdłuż tej osi bok AB, aż wierzchołek C znajdzie się na czarnym polu. Jeżeli wysokość trójkąta poprowadzona z wierzchołka C jest nieparzystą wielokrotnością połowy przekątnej pojedynczego pola szachownicy, to przesuwam bok AB, aż wierzchołek C znajdzie się w punkcie, w którym stykają się dwa czarne i dwa białe pola.

Można narysować na szachownicy oś OX nie przechodzącą przez wnętrza pól kwadratów , i każdy trójkąt można umieścić tak , żeby jego wierzchołki A i B leżały wewnątrz czarnych pól leżących na szachownicy, jeżeli leżą te wierzchołki np. na krawędziach to bardzo leciutko można krawędź przesunąć i przekręcić tak aby A i B schowały się wewnątrz czarnych kwadratów ( i wtedy nie będzie problemu jaki kolor mają krawędzie lub wierzchołki)...

Natomiast trzeci wierzchołek C jeżeli leży w czarnym polu to ok sprawa rozwiązana a jeżeli leży w polu białym to go odbijamy symetrycznie względem osi OX i wtedy znajdzie się w czarnym polu a trójkąt się nie zmieni, cnd...

Trójkąt się zmieni, bo zmieniasz jego orientację.

Myślałem że wystarczy aby trójkąty były podobne, ale jeżeli tak to pewnie możemy go tak poodbijać i poprzerzucać, żeby np. wszystkie wierzchołki były białe i orientacja się nie zmieni a jak będzie prawdą dla białych to i dla czarnych...

Dodano po 16 minutach 15 sekundach:
Doprecyzuję a mianowicie odbity czarny trójkąt można przesunąć w prawo o jedną jednostkę wtedy wszystkie wierzchołki będą białe a potem wykonujemy symetrię względem osi OX i wierzchołki będą znowu czarne a orientacja wróci do pierwotnej...

Ale odbijać musisz względem boku a nie względem osi OX, bo wtedy nie zachowa się podobieństwo

Aleś odleciał...