Strona 1 z 1
Wykazać nierówność
: 28 paź 2022, o 13:15
autor: 41421356
Wykaż, że jeśli \(\displaystyle{ a, b\in\left(0,1\right)}\) oraz \(\displaystyle{ \ln\frac{1}{a}\ln\frac{1}{b}=9}\), to \(\displaystyle{ a\cdot b\leq\frac{1}{e^6}}\).
Jakieś pomysły?
Re: Wykazać nierówność
: 28 paź 2022, o 13:42
autor: 41421356
Już mam, wystarczy użyć nierówności AM-GM.
Re: Wykazać nierówność
: 28 gru 2022, o 19:22
autor: wojciechfil20
Mógłbyś zaprezentować swoje rozwiązanie?
Re: Wykazać nierówność
: 29 gru 2022, o 14:58
autor: Dasio11
Z nierówności AM-GM
\(\displaystyle{ -\frac{\ln(ab)}{2} = \frac{\ln \frac{1}{a} + \ln \frac{1}{b}}{2} \ge \sqrt{ \ln \frac{1}{a} \cdot \ln \frac{1}{b} } = \sqrt{9} = 3}\),
zatem \(\displaystyle{ \ln(ab) \le -6}\) i stąd \(\displaystyle{ ab \le e^{-6}}\).