Matematyka.pl

Niech \(\displaystyle{ (G_1, \circ, e_1)}\) i \(\displaystyle{ (G_2,\bullet , e_2)}\) będą grupami. Udowodnij, że zbiór par \(\displaystyle{ (g_1, g_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ g_1 \in G_1, g_2 \in G_2}\), tworzy grupę względem działania \(\displaystyle{ \#}\) określonego wzorem \(\displaystyle{ (g_1, g_2) \# (g_{10} , g_{20} ) = (g_1 \circ g_{10} , g_2\bullet g_{20} )}\). Grupę tę nazywamy sumą prostą grup \(\displaystyle{ G_1, G_2}\) i oznaczamy \(\displaystyle{ G_1 \oplus G_2.}\)

Bardzo prosiłbym o pomoc z powyższym zadaniem, gdyż nie wiem jak się za nie zabrać. Z góry dziękuję za pomoc

Pisz w\(\displaystyle{ \LaTeX}\)! Zadanie sprowadza się do sprawdzenia kilku rzeczy z definicji. Z czym masz problem? Wewnętrzność działania \(\displaystyle{ \triangle \subseteq (G_1 \times G_2) \times (G_1 \times G_2) }\) tj. działania w \(\displaystyle{ G_1 \oplus G_2}\) wynika wprost z wewnętrzności działań w grupach \(\displaystyle{ G_1}\) oraz \(\displaystyle{ G_2}\) i faktu, że \(\displaystyle{ \triangle}\) to działanie po współrzędnych. Łączność podobnie. Choć tu może warto napisać kilka matematycznych znaczków aby pozostał ślad rozumowania. Poza tym elementem naturalnym w grupie \(\displaystyle{ G_1 \oplus G_2}\) jest (co aktualnie postuluję lecz wymaga to dowodu) \(\displaystyle{ E=(e_1,e_2)}\), gdzie \(\displaystyle{ e_1,e_2}\) to elementy nautralne grup \(\displaystyle{ G_1, \ G_2}\). Na koniec stwierdzamy też, że każdy element \(\displaystyle{ G_1 \oplus G_2}\) ma odwrotność. Sprawdź odwrotność po współrzędnych.

PS temat lepiej nadaje się do działu algebra abstrakcyjna.