Strona 1 z 1
Porównać liczby
: 25 paź 2022, o 16:41
autor: malgoskk
Witam
Mam porównać 2 liczby
\(\displaystyle{
A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006} \\
B=\frac{1}{1003}+\frac{1}{1004}+...+\frac{1}{2006}
}\)
Re: Porównać liczby
: 25 paź 2022, o 16:57
autor: Janusz Tracz
Hint, Botez-Catalan identity:
\(\displaystyle{ \sum_\limits{i=n+1}^{2n} \frac 1i = \sum_\limits{i=1}^{2n} \frac {(-1)^{i+1}}{i}.}\)
PS
Kod: Zaznacz cały
www.ssmrmh.ro/wp-content/uploads/2020/04/BOTEZ-CATALAN-TYPE-IDENTITIES-FOR-HARMONICS-SUMS-AND-ASSOCIATED-INEQUALITIES.pdf
BOTEZ - CATALAN TYPE IDENTITIES FOR HARMONICS SUMS AND ASSOCIATED INEQUALITIES, Dorin Mărghidanu-Romania
Re: Porównać liczby
: 25 paź 2022, o 18:18
autor: malgoskk
\(\displaystyle{
A=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}-\frac{1}{2006}=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - 2\left( \frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+...+\frac{1}{2006}\right)=\\
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2005}+\frac{1}{2006} - \left( 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{1003}\right)=\\
\frac{1}{1004}+\frac{1}{1005}+...+\frac{1}{2006} \neq B\\
B>A
}\)
Re: Porównać liczby
: 25 paź 2022, o 18:21
autor: Janusz Tracz
Zgadza się. Widać nawet o ile \(\displaystyle{ B}\) jest większe od \(\displaystyle{ A}\).
Re: Porównać liczby
: 26 paź 2022, o 07:11
autor: vip123
A jak porównać takie liczby?
\(\displaystyle{
x= \frac{1}{1999}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{1999} \right) \\
y=\frac{1}{2000}\left( 1+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+...+ \frac{1}{2000} \right)
}\)
Re: Porównać liczby
: 26 paź 2022, o 09:02
autor: a4karo
Wsk: `y-x=1+...`
Re: Porównać liczby
: 26 paź 2022, o 10:14
autor: vip123
mi wychodzi że
\(\displaystyle{ y<x}\)