Zacznijmy od tego, że
\(\displaystyle{ c=0}\). Wynika to z faktu iż dla
\(\displaystyle{ c \neq 0}\) po przekształceniu uzyskamy
\(\displaystyle{ \frac{ab}{c}=b-a}\). Jako że największy wspólny dzielnik
\(\displaystyle{ a,b,c}\) jest równy
\(\displaystyle{ 1}\), to w szczególności
\(\displaystyle{ c}\) nie może dzielić
\(\displaystyle{ ab}\) bez reszty, więc
\(\displaystyle{ \frac{ab}{c}}\) będzie liczbą niecałkowitą, a
\(\displaystyle{ b-a}\) całkowitą, czyli uzyskaliśmy sprzeczność. Co dowodzi, że
\(\displaystyle{ c=0}\). Wiedząc to prawa strona równania jest równa
\(\displaystyle{ 0}\), więc
\(\displaystyle{ a=0 \vee b=0}\). Rozważmy oba przypadki. Dla
\(\displaystyle{ a=0}\) mamy
\(\displaystyle{ a=0 \wedge c=0}\), jednakże aby największy wspólny dzielnik
\(\displaystyle{ a,b,c}\) mógł wynosić
\(\displaystyle{ 1}\), i aby liczby
\(\displaystyle{ a,b,c}\) należały do naturalnych, to
\(\displaystyle{ b=1}\). Teraz rozwarzmy
\(\displaystyle{ 2}\) przypadek, w którym
\(\displaystyle{ b=0}\). Dla tego przypadku mamy
\(\displaystyle{ b=0 \wedge c=0}\), podobnie jak w poprzednim przypadku, aby największy wspólny dzielnik tych liczb mógłby być równy
\(\displaystyle{ 1}\) i wszytskie z nich należały do naturanlych, to
\(\displaystyle{ a=1}\). Co pozwala nam twierdzić, że istnieją tylko 2 trójki liczb
\(\displaystyle{ a,b,c}\) spełnające warunki zadania, a są to
\(\displaystyle{ (1,0,0)}\) i
\(\displaystyle{ (0,1,0)}\). Dla pierwszej z nich
\(\displaystyle{ b-a=0-1=-1}\), a dla drugiej
\(\displaystyle{ b-a=1-0=1}\). Tutaj jednak napotykamy problem, bo jeśli i można(a nawet trzeba) się zgodzić, że liczba
\(\displaystyle{ 1}\) jest kwadratem liczby całkowitej, to nie można tego powiedzieć o drugim wyniku, czyli
\(\displaystyle{ -1}\), która nie jest kwadratem liczby całkowitej. Podsumowując
\(\displaystyle{ b-a= \pm 1}\), ale niekoniecznie jest kwadratem liczby całkowitej. Mam nadzieję, że pomogłem
.
PS. Jeśli coś w moim rozwiązaniu jest dla Ciebie niezrozumiałe, to napisz, a postaram się lepiej wytłumaczyć.