Matematyka.pl

Dzień dobry,

od paru godzin staram się zrozumieć jak wykazać, że dany zbiór z określonym działanie stanowi grupę.
Przykładowe zadanie

\(\displaystyle{ a \circ b = a + b - 2}\)

wiem, że musi zostać spełniony warunek
\(\displaystyle{ (a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)}\)

zatem \(\displaystyle{ L = (a \circ b) \circ c = (a + b - 2) \circ c = (a + b - 2) + c - 2 = a + b - 4}\)

Niestety nie jestem w stanie pojąć skąd te wartości wychodzą, jak pierwsze podstawienie jest logiczne, tak \(\displaystyle{ c - 2}\) już nie, skąd ta \(\displaystyle{ -2}\) się w ogóle tam bierze? Da się to jakoś prościej rozpisać, jest może jakaś zasada?
Będę wdzięczny za wytłumaczenie

Evron pisze: 23 paź 2022, o 01:00zatem \(\displaystyle{ L = (a \circ b) \circ c = (a + b - 2) \circ c = (a + b - 2) + c - 2 = a + b - 4}\)

Niestety nie jestem w stanie pojąć skąd te wartości wychodzą, jak pierwsze podstawienie jest logiczne, tak \(\displaystyle{ c - 2}\) już nie, skąd ta \(\displaystyle{ -2}\) się w ogóle tam bierze?

Ze wzoru na działanie, który - jak sam napisałeś - wygląda tak:

\(\displaystyle{ \spadesuit \circ \heartsuit = \spadesuit + \heartsuit - 2.}\)

Skoro więc chcesz policzyć \(\displaystyle{ (a + b - 2) \circ c}\), to w powyższym wzorze podstawiasz \(\displaystyle{ \spadesuit=a+b-2}\) i \(\displaystyle{ \heartsuit=c.}\)

JK

Działanie \(\displaystyle{ +}\) wiemy jak działa, uczymy się od podstawówki.
Na przykład: \(\displaystyle{ 6+3 = 9}\)

Działanie \(\displaystyle{ \circ}\) działa tak samo jak działanie \(\displaystyle{ +}\) tylko jeszcze na końcu odejmuje liczbę dwa.
Na przykład \(\displaystyle{ 6 \circ 3 = 7}\)

Tu nie ma nic skomplikowanego dodajesz dwie liczby i odejmujesz od nich liczbę \(\displaystyle{ 2}\) - po prostu. Dlaczego tak? Bo tak sobie wymyślił autor zadania. Ty możesz sobie "stworzyć" nowe działanie, które będzie robiło to co Ty chcesz.

Jeżeli Ci to pomoże to możesz potraktować działanie jako funkcję, która bierze dwa elementy i wypluwa inny według jakiegoś wzoru.

Na początku powinno być określone bardzo jasno na jakim zbiorze jest to działanie a tu tego nie ma, podobnie jak czasem jest pewne jasne tłumaczenie, którego nikt nigdy nie widział ani nie słyszał na tym forum...