Matematyka.pl

Dwie macierze \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) pomnożone dają macierz jednostkową, więc \(\displaystyle{ A=B^{-1}}\). Jak zamienimy miejscami rząd (kolumnę) \(\displaystyle{ p}\) z rzędem (kolumną) \(\displaystyle{ q}\) w obu macierzach, to wciąż pomnożone dają macierz jednostkową. Jak to udowodnić?

Niech będzie, że kolumnę \(\displaystyle{ p}\) zamieniamy z kolumną \(\displaystyle{ q}\).

Mamy \(\displaystyle{ a_{ij}b_{jk} = \delta_{ik}}\). Próbowałem zdefiniować nowe macierze \(\displaystyle{ A'}\) i \(\displaystyle{ B'}\) takie, że \(\displaystyle{ a'_{ij}=a_{ij}}\) oraz \(\displaystyle{ b'_{ij}=b_{ij}}\) dla \(\displaystyle{ j\neq p}\) i \(\displaystyle{ j\neq q}\). \(\displaystyle{ a'_{ip}=a_{iq}}\), \(\displaystyle{ a'_{iq}=a_{ip}}\), \(\displaystyle{ b'_{ip}=b_{iq}}\), \(\displaystyle{ b'_{iq}=b_{ip}}\).

Nie mogę z tego pokazać, że \(\displaystyle{ a'_{ij}b'_{jk} = \delta_{ik}}\).

WSK. Niech `Q` będzie macierzą taka, że \(\displaystyle{ A'=AQ}\) a `P` taka macierzą, że \(\displaystyle{ PB=B'}\) (prim oznacza macierze po przekształceniach) . Wtedy \(\displaystyle{ A'B'=AQPB.}\)

Gdyby tak było, to istniałaby taka macierz \(\displaystyle{ Q}\), że \(\displaystyle{ A}\) pomnożona przez nią miałaby efekt taki, że dwa rzędy albo dwie kolumny zamieniają się miejscami \(\displaystyle{ A'=AQ}\), np

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right] Q = \left[\begin{array}{ccc}4&5&6\\1&2&3\\7&8&9\end{array}\right]}\).

A ogólnie taka macierz \(\displaystyle{ Q}\) nie istnieje.

Jeżeli macierz `A` jest nieosobliwa (a jest, bo `B` jest jej macierzą odwrotną), to \(\displaystyle{ Q=A^{-1}A'}\)

Wciąż nie widzę jak \(\displaystyle{ AB=I \Rightarrow A'B'=I}\).

Mamy \(\displaystyle{ A'B'=AQPB=AA^{-1}A'B'B^{-1}B = A'B'}\). Gdzie tu widać, że \(\displaystyle{ AB=A'B'}\) albo że \(\displaystyle{ A'B'=I}\)?

To nie rozwiazanie, tylko sugestia. Może okazać się, że te macierze będą miały na tyle prosta postać, ze uda się wyliczyć ich iloczyn?

Żeby twierdzenie było prawdziwe, w jednej macierzy muszą zamieniać się kolumny a w drugiej wiersze. Oznaczmy przez \(\displaystyle{ Q}\) macierz, która powstaje z macierzy identyczności przez zamianę kolumn \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\) (lub wierszy - wychodzi na to samo). Wtedy \(\displaystyle{ Q = Q^{\top} = Q^{-1}}\), a ponadto dla dowolnej macierzy \(\displaystyle{ M}\):

- \(\displaystyle{ MQ}\) jest macierzą, która powstaje z \(\displaystyle{ M}\) przez zamianę kolumn \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\);

- \(\displaystyle{ QM}\) jest macierzą, która powstaje z \(\displaystyle{ M}\) przez zamianę wierszy \(\displaystyle{ p}\) i \(\displaystyle{ q}\).

Jeśli więc na przykład w \(\displaystyle{ A}\) zamieniamy wiersze a w \(\displaystyle{ B}\) kolumny, to \(\displaystyle{ A' = QA}\) i \(\displaystyle{ B' = BQ}\) i stąd \(\displaystyle{ A' B' = QABQ = QIQ = Q^2 = I}\).

Tak sformułowane zadanie nie jest prawdziwe:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\)
ale po zamianie wierszy
\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}0&1\\1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\1&-1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&-1\\1&0\end{bmatrix}}\)

Prawdziwe jest natomiast takie stwierdzenie:
Jeżli w macierzy `A` zamienimy wiersze/kolumny `p` i `q` a w macierzy `B` zamienimy kolumny/wiersze `p` i `q` to iloczyn będzie macierzą jednostkową.

A macierz, której szukamy ma prostą postać : jedynki w (p.q), (q,p) a w pozostałych wierszach jedynki na przekątnej

Hipoteza okazała się więc nieprawidłowa.