Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej

[max123321]

Udowodnij, że dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k}\) i dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ m}\) liczba \(\displaystyle{ k^3m-km^3}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 6}\).

Jak to zrobić? Gubię się tu trochę.

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ k^3m-km^3 =m (k-1) k (k+1)- k (m-1)m(m+1).}\)

To, że \(\displaystyle{ 6|(x-1)x (x+1)}\) to znany fakt.

[arek1357]

\(\displaystyle{ rR(r-R)(r+R)=0 \mod 6 , r, R \in \ZZ_{6}}\)

[max123321]

Aha no Janusz Tracz ok, ale jak Ty znalazłeś tą równość? Jak to wyprowadziłeś?

[arek1357]

\(\displaystyle{ k=6x+r, m=6y+R}\)

Po mnożeniu modulo sześć wychodzi moja równość...

Zaletą tego podejścia jest taka, że nieskończoności sprowadzasz do kilku zaledwie elementów, sprawdza się takie podejście w wielu przypadkach...

[Janusz Tracz]

\(\displaystyle{ k^3m-km^3 = 6m\left( {k \choose 2} + {k \choose 3}\right)-6k\left( {m \choose 2} + {m \choose 3} \right) }\)

mr-bean.gif (341.49 KiB) Przejrzano 932 razy

[max123321]

Janusz Tracz dobra, ale można to jakoś elementarnie wykazać, czy trzeba wcześniej wiedzieć takie rzeczy? Bo takie pomysły z kapelusza to mi się średnio podobają.

Arek, ale tą równość:
\(\displaystyle{ rR(r-R)(r+R)=0 \mod 6 , r, R \in \ZZ_{6}}\)
to trzeba jeszcze wykazać. Do tego doszedłem, ale co dalej, zostaje sporo przypadków do rozpatrzenia...

[Jan Kraszewski]

zostaje sporo przypadków do rozpatrzenia...

E tam, po prostej redukcji tylko dziesięć...

JK

[arek1357]

dla:
\(\displaystyle{ r=R }\)

Od razu widać, że zero tak samo jak któryś z nich jest zerem

Zostają przypadki:

\(\displaystyle{ (r,R)=(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(2,3)(2,4)(2,5)(3,4)(3,5)(4,5)}\)

A to można w pamięci ławo widać, że zawsze się zeruję ten iloczyn...

E tam, po prostej redukcji tylko dziesięć...

Jak widać na załączonym obrazku a przy okazji można poćwiczyć pierścienie modularne więc mamy kilka korzyści...

[max123321]

Ale to jest zadanie z liceum, czyli co licealista ma sprawdzać te 10 przypadków po prostu? Bo ten pomysł Janusza Tracza jest bardzo ładny, ale co z tego skoro i tak się nie da na to wpaść...

[Janusz Tracz]

Janusz Tracz dobra, ale można to jakoś elementarnie wykazać, czy trzeba wcześniej wiedzieć takie rzeczy? Bo takie pomysły z kapelusza to mi się średnio podobają.

Trudno powiedzieć. To subiektywne odczucie. Nie uważam, że wpadnięcie na rozkład pokazany w moim pierwszym poście jest ponad siły maturzysty. Takie zadanie śmiało mogło by się na maturze pojawić. Oczywiście nie twierdzę, że ten rozkład jest banalny i każdy ma go od razu widzieć. Uważam jednak, że znanym jest fakt, iż \(\displaystyle{ (\forall x\in\NN)6|(x-1)x (x+1)}\). A jak się to już wie to jakoś czuć, że w tym kierunku można iść.

Cieszy mnie zmiana zdania.

Bo takie pomysły z kapelusza to mi się średnio podobają.

Bo ten pomysł Janusza Tracza jest bardzo ładny.

[max123321]

Janusz Tracz co ty gadasz za głupoty. Ja pracowałem trochę z licealistami i wiem, że oni by w życiu na to nie wpadli. Może najlepsze ćwierć promila i to też przy dobrych wiatrach. Na to zadanie raczej przewidywany jest sposób z 10 przypadkami, tak podejrzewam.

[arek1357]

Janusz Tracz co ty gadasz za głupoty

Wybacz ale muszę wziąć w obronę Janusza ponieważ obserwuję jego zachowanie na tym forum od pewnego czasu i nie zauważyłem, żeby gadał głupoty, jest to osoba racjonalna pracowita, rzetelna , itd...
Mało kogo tu bronię ale musiałem się wtrącić...

Na to zadanie raczej przewidywany jest sposób z 10 przypadkami, tak podejrzewam.

Jeżeli to są licealiści to skąd mają wiedzieć o pierścieniach skończonych no może te ćwierć promila?

[Janusz Tracz]

Janusz Tracz co ty gadasz za głupoty.

Upsi

Kod: Zaznacz cały

arkusze.pl/maturalne/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona.pdf

Zadanie 8, matura 2018. Aż sprawdzę

Kod: Zaznacz cały

arkusze.pl/maturalne/matematyka-2018-maj-matura-rozszerzona-odpowiedzi.pdf

wzorcówkę... jej jednak oczekują tego od licealistów ¯\_(ツ)_/¯

@arek1357 dzięki. To miłe.

[max123321]

Faktem jest jedynie, że jest zarozumiały.

Arek tu nie trzeba nic wiedzieć o pierścieniach, żeby te 10 przypadków sprawdzić. Wystarczy trochę to inaczej zapisać...