Matematyka.pl

Mamy:

• kryterium ilorazowe,

• On the asymptotic expansion of the sum of the first \(\displaystyle{ n}\) primes, Nilotpal Kanti Sinha,

  Kod: Zaznacz cały

  arxiv.org/abs/1011.1667

  , Theorem 2.3.

Zatem \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) zachowuje się jak \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{2} \big/ \sqrt{ n^2\ln n } }\). A nawet ślepy koń widzi, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt{2} \big/ \sqrt{ n^2\ln n } }\) jest rozbieżny więc \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) też.

Na koniec zauważamy, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{ \sum_{r=1}^{n} p_r} }\) ogranicza z dołu szereg z zadania.
\(\displaystyle{ }\)

Wydaje mi się, że większość da się uratować i idea pozostaje taka sama. Z linkowanego wcześniej asymptotycznego oszacowania mamy, że
Zatem
Więc wystarczy stwierdzić, że \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } 1\big/ \sqrt{n^3\ln n}}\) jest zbieżny co jest już łatwe.