Matematyka.pl

Mamy \(\displaystyle{ x^2+y^2 \ge 2}\). Jak udowodnić, że również \(\displaystyle{ x^{10}+y^{10} \ge 2}\)?
Wiemy, że x i y są rzeczywiste.
Z góry dziękuję za pomoc!

Dla dodatnich liczb \(a,b\) zachodzi \(\sqrt[5]{a^5+b^5\over2}\ge {a+b\over2}\) (równość dla \(a=b\))

Pozdrawiam

Dowód zacytowanego przeze mnie faktu można zacząć od
\(5(a-b)^2(a+b)(3a^2+2ab+3b^2)\ge0\) dla liczb dodatnich

Pozdrawiam

Można też sprawdzić że funkcja \(\displaystyle{ x^n}\) jest rosnąca dla \(\displaystyle{ n}\) rosnącego.

\(x^{10}+1+1+1+1\ge 5\sqrt[5]{(x^2)^5\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1}\)