Matematyka.pl

Witam,
mam problem, bo nie bardzo wiem jak obliczyć granicę ciągu nie stosując reguły de l'Hospitala(ponieważ mamy doczynienia z ciągiem)
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1}\)

Janusz Tracz pisze: 8 paź 2022, o 22:12 Z \(\displaystyle{ \text{AM}-\text{GM}}\) oraz \(\displaystyle{ 3}\) ciągów:

\(\displaystyle{ 1 \le \sqrt[n]{n}= \sqrt[n]{\sqrt{n} \times \sqrt{n} \times 1^{n-2}} \leq \frac{2 \sqrt{n}+n-2}{n}.}\)

proszę mnie nie zlinczować, wiem tyle, że chodzi o średnią geometryczną i arytmetyczną tylko zastanawia mnie dlaczego nie jest

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{\sqrt{n} \times \sqrt{n} \times 1^{n-2}} \leq \frac{2 \sqrt{n}+ 1^{n-2} }{n}.}\)
skoro 3 wyraz średniej geometrycznej to
\(\displaystyle{ 1^{n-2} }\)

Nie korzystasz ze średniej dla \(\displaystyle{ 3}\) zmiennych tylko dla \(\displaystyle{ n}\). Dlatego jest tam dzielenie przez \(\displaystyle{ n}\). Innymi słowy

wszystko wiem, dziękuje za odpowiedź,
znalazłem też takie rozwiązanie
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} =\lim_{m \to \infty } \sqrt[ 2^{m} ]{ 2^{m} }= \lim_{m \to \infty } 2^{ \frac{m}{ 2^{m} } }= 2^{0} }\)
jak obliczyć taką granicę?
\(\displaystyle{ \lim_{ m\to \infty }\frac{m}{ 2^{m}} =0 }\)
od dołu wiem jak ograniczyć
\(\displaystyle{ \lim_{m \to \infty } \frac{1}{2 ^{m} } }\) a od góry?

To nie jest pełne rozwiązanie. Mogłoby być tak, że na podciągu \(\displaystyle{ n}\) (tu \(\displaystyle{ 2^m}\)) mamy zbieżność do \(\displaystyle{ 1}\), a na innym podciągu nie. Oczywiście tak tu nie będzie ale formalnie trzeba to pokazać. Pewnie wystarczy najpierw zauważyć, że w ogóle \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n} }\) ma granice jako ciąg malejący (od pewnego miejsca) i ograniczony więc można ją policzyć na podciągu. Co do \(\displaystyle{ m/2^m\to 0}\) to wystarczy zauważyć, że
Jest w tej (przedstawionej przez Ciebie) metodzie również ukryte wykorzystanie ciągłości funkcji \(\displaystyle{ x\mapsto 2^x}\) w \(\displaystyle{ 0}\). Oczywiście to nic złego bo ta ciągłość jest ale przez to rozumowanie nie jest tak elementarne jak by się wydawało. Btw ten sam zarzut można postawić mi co do metody \(\displaystyle{ 3}\) oraz \(\displaystyle{ 4}\). Więc to tylko spostrzeżenie.