udowodnić nierówność

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Awatar użytkownika
tail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 4 razy

udowodnić nierówność

Post autor: tail » 22 paź 2007, o 11:26

muszę wykazać że \(\displaystyle{ \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geqslant a+b+c}\) dla dowolnych liczb rzeczywistych dodatnich.

Proszę chociaż o nakierowanie

Awatar użytkownika
jarekp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 173
Rejestracja: 7 paź 2007, o 14:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 56 razy

udowodnić nierówność

Post autor: jarekp » 22 paź 2007, o 11:39

\(\displaystyle{ \frac{bc}{a}+\frac{ac}{b}+\frac{ab}{c}\geqslant a+b+c}\) dzielimy stronami przez\(\displaystyle{ \frac{abc}{2}}\)

otrzymujemy

\(\displaystyle{ \frac{2}{a^2}+\frac{2}{b^2}+\frac{2}{c^2}\geqslant \frac{2}{bc}+\frac{2}{ac}+\frac{2}{bc} \iff \frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ac}+\frac{1}{c^2}
+\frac{1}{b^2}-\frac{2}{bc}+\frac{1}{c^2}\geqslant 0 \iff
(\frac{1}{a}-\frac{1}{b})^2+(\frac{1}{a}-\frac{1}{c})^2
+(\frac{1}{b}-\frac{1}{c})^2\geqslant 0}\)


czyli nierówność jest prawdziwa



andkom
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 636
Rejestracja: 10 paź 2007, o 12:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Łódź
Pomógł: 350 razy

udowodnić nierówność

Post autor: andkom » 22 paź 2007, o 11:42

Oczywiście prawdziwe są nierówności:
\(\displaystyle{ c^2(a-b)^2\geqslant0\\
a^2(b-c)^2\geqslant0\\
b^2(c-a)^2\geqslant0}\)

Po dodaniu ich stronami, podzieleniu obu stron przez 2abc i przekształceniu (poprzenoszeniu odpowiednich rzeczy na odpowiednie strony) dostajemy to, co chcemy.

Awatar użytkownika
tail
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 82
Rejestracja: 26 kwie 2007, o 16:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 4 razy

udowodnić nierówność

Post autor: tail » 22 paź 2007, o 11:45

A to takie proste... dzięki wielkie Jarek

ODPOWIEDZ