Pokrycia zbiorów
: 2 paź 2022, o 23:16
Przypomnijmy:
Jeśli \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\}}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego niepustym podzbiorem, to rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset P(X)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) nazywamy pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdy: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset A}\).
Czyli zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) pokrywają zbiór \(\displaystyle{ A}\), co przedstawia ilustracja:\(\displaystyle{ \\}\)
Łatwo jest zauważyć, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\subset X,}\) i rodzna \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), i mamy mniejszy niepusty zbiór \(\displaystyle{ B\subset A}\), to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\)- jest to dość oczywista obserwacja.
Wczoraj wykazałem, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego niepuste podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), i jeśli rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\), to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Wykazałem też wczoraj, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz jego pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) (formalnie bierzemy tu podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A= X\subset X}\), i rozważamy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ A}\)), czyli jeśli mamy pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), i jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ Y \neq \left\{ \right\}}\), oraz jego pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\), to rodzina prostokątów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ B \times C}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ B}\) pochodzą z pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\), a zbiory \(\displaystyle{ C}\) pochodzą z pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\),to rodzina takich prostokątów kartezjańskich tworzy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Rozważmy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego niepuste podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\). Niech rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) będzie pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\). Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup\mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B.}\)
Nim udowodnimy ten fakt, przypomnijmy prawo mówiące, że dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y},}\) mamy prawo:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) = \left( \bigcup\mathbb{X}\right) \cup \left( \bigcup\mathbb{Y}\right).}\)
Zatem łatwo możemy udowodnić nasz fakt:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy, że pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X,}\) i pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), i w efekcie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), jak trzeba.
Wykażemy teraz, że: \(\displaystyle{ \bigcup\left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B}\right) \supset A \cup B.}\)
Mamy, na mocy przytoczonegp prawa:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B} \right) = \left( \bigcup \mathbb{A}\right) \cup \left( \bigcup\mathbb{B}\right) = }\)
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}\supset A}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset B}\), i w efekcie:
\(\displaystyle{ \bigcup\left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B}\right) = \left( \underbrace{ \bigcup \mathbb{A} }_{\supset A}\right) \cup \left( \underbrace{ \bigcup \mathbb{B} }_{\supset B}\right) \supset A \cup B, }\),
a więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B. \square }\)
\(\displaystyle{ }\)
Przejdźmy do naszego drugiego problemu:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X}\); niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) prostokątów kartezjańskich, dana jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ B \times C\Bigl| \ \ B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y \right\}}\),
taka rodzina prostokątów kartezjańskich tworzy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\).
Oto ilustracja tego faktu:
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Musimy po pierwsze wykazać, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\).
To jednak jest proste, gdyż jeśli mamy zbiór postaci \(\displaystyle{ B \times C}\), gdzie \(\displaystyle{ B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y,}\) ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), a więc \(\displaystyle{ B\subset X}\), w podobny sposób otrzymujemy, że \(\displaystyle{ C\subset Y}\), a zatem \(\displaystyle{ B \times C\subset X \times Y,}\) i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X \times Y.}\)
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Z:=X \times Y\subset X \times Y.}\)
W tym celu musimy wykazać, że: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset X \times Y.}\)
Niewątpliwie mamy:
\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}= \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y} \left( B \times C\right) = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} \left( \bigcup_{ C\in \mathbb{B}_Y } B \times C \right) = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X } \left( B \times \bigcup_{C\in \mathbb{B}_Y } C \right) = \bigcup_{B\in\mathbb{B}_X } \left( B \times \bigcup \mathbb{B}_Y\right) =}\)
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Y}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y \supset Y}\), ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y \subset Y}\), i \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y=Y}\), a więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} \left( B \times Y\right) = \left( \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} B \right) \times Y= \bigcup\mathbb{B}_X \times Y=}\),
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem w podobny sposób jak powyżej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_X=X}\), a więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = X \times Y}\),
czyli \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=X \times Y,}\)
i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X \times Y.\square}\)
Jeśli \(\displaystyle{ X \neq \left\{ \right\}}\) jest niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ A\subset X}\) jego niepustym podzbiorem, to rodzinę \(\displaystyle{ \mathbb{B}\subset P(X)}\) podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\) nazywamy pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), gdy: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset A}\).
Czyli zbiory z rodziny \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) pokrywają zbiór \(\displaystyle{ A}\), co przedstawia ilustracja:\(\displaystyle{ \\}\)
Łatwo jest zauważyć, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ A\subset X,}\) i rodzna \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), i mamy mniejszy niepusty zbiór \(\displaystyle{ B\subset A}\), to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\)- jest to dość oczywista obserwacja.
Wczoraj wykazałem, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego niepuste podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\), i jeśli rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\), to rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B}\). Wykazałem też wczoraj, że jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz jego pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) (formalnie bierzemy tu podzbiór \(\displaystyle{ \left\{ \right\} \neq A= X\subset X}\), i rozważamy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ A}\)), czyli jeśli mamy pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) zbioru \(\displaystyle{ X}\), i jeśli mamy niepusty zbiór \(\displaystyle{ Y \neq \left\{ \right\}}\), oraz jego pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\), to rodzina prostokątów kartezjańskich postaci \(\displaystyle{ B \times C}\), gdzie zbiory \(\displaystyle{ B}\) pochodzą z pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\), a zbiory \(\displaystyle{ C}\) pochodzą z pokrycia \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\),to rodzina takich prostokątów kartezjańskich tworzy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\). Przedstawię teraz dowody tych ciekawych faktów.
Rozważmy niepusty zbiór \(\displaystyle{ X}\), oraz dwa jego niepuste podzbiory \(\displaystyle{ A,B\subset X}\). Niech rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) będzie pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) będzie pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\). Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup\mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B.}\)
Nim udowodnimy ten fakt, przypomnijmy prawo mówiące, że dla dwóch rodzin zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{X}}\) i \(\displaystyle{ \mathbb{Y},}\) mamy prawo:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb{X} \cup \mathbb{Y}\right) = \left( \bigcup\mathbb{X}\right) \cup \left( \bigcup\mathbb{Y}\right).}\)
Zatem łatwo możemy udowodnić nasz fakt:
DOWÓD TEGO FAKTU:
Zauważmy, że pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X,}\) i pokrycie \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), i w efekcie rodzina zbiorów \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), jak trzeba.
Wykażemy teraz, że: \(\displaystyle{ \bigcup\left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B}\right) \supset A \cup B.}\)
Mamy, na mocy przytoczonegp prawa:
\(\displaystyle{ \bigcup \left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B} \right) = \left( \bigcup \mathbb{A}\right) \cup \left( \bigcup\mathbb{B}\right) = }\)
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup \mathbb{A}\supset A}\), i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ B}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset B}\), i w efekcie:
\(\displaystyle{ \bigcup\left( \mathbb{A} \cup \mathbb{B}\right) = \left( \underbrace{ \bigcup \mathbb{A} }_{\supset A}\right) \cup \left( \underbrace{ \bigcup \mathbb{B} }_{\supset B}\right) \supset A \cup B, }\),
a więc rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{A} \cup \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ A \cup B. \square }\)
\(\displaystyle{ }\)
Przejdźmy do naszego drugiego problemu:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X}\); niech \(\displaystyle{ Y}\) będzie niepustym zbiorem, a \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Y}\). Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) prostokątów kartezjańskich, dana jako:
\(\displaystyle{ \mathbb{B}=\left\{ B \times C\Bigl| \ \ B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y \right\}}\),
taka rodzina prostokątów kartezjańskich tworzy pokrycie zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\).
Oto ilustracja tego faktu:
\(\displaystyle{ \\}\)
\(\displaystyle{ \\}\)
DOWÓD TEGO FAKTU:
Musimy po pierwsze wykazać, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X \times Y}\).
To jednak jest proste, gdyż jeśli mamy zbiór postaci \(\displaystyle{ B \times C}\), gdzie \(\displaystyle{ B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y,}\) ponieważ \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X}\), a więc \(\displaystyle{ B\subset X}\), w podobny sposób otrzymujemy, że \(\displaystyle{ C\subset Y}\), a zatem \(\displaystyle{ B \times C\subset X \times Y,}\) i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ X \times Y.}\)
Wykażemy, że rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Z:=X \times Y\subset X \times Y.}\)
W tym celu musimy wykazać, że: \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}\supset X \times Y.}\)
Niewątpliwie mamy:
\(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}= \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X, C\in \mathbb{B}_Y} \left( B \times C\right) = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} \left( \bigcup_{ C\in \mathbb{B}_Y } B \times C \right) = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X } \left( B \times \bigcup_{C\in \mathbb{B}_Y } C \right) = \bigcup_{B\in\mathbb{B}_X } \left( B \times \bigcup \mathbb{B}_Y\right) =}\)
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ Y}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y \supset Y}\), ale \(\displaystyle{ \mathbb{B}_Y}\) jest rodziną podzbiorów zbioru \(\displaystyle{ Y}\), a zatem \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y \subset Y}\), i \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_Y=Y}\), a więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} \left( B \times Y\right) = \left( \bigcup_{B\in \mathbb{B}_X} B \right) \times Y= \bigcup\mathbb{B}_X \times Y=}\),
i ponieważ rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}_X}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X}\), a zatem w podobny sposób jak powyżej otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}_X=X}\), a więc to jest równe:
\(\displaystyle{ = X \times Y}\),
czyli \(\displaystyle{ \bigcup\mathbb{B}=X \times Y,}\)
i rodzina \(\displaystyle{ \mathbb{B}}\) jest pokryciem zbioru \(\displaystyle{ X \times Y.\square}\)