Matematyka.pl

Jak uzasadnić, że największy kąt w trójkącie to ten, który leży na przeciwko najdłuższego boku?

Uwaga! Nie używamy trygonometrii, zadanie jest na poziomie szkoły podstawowej.

\(\displaystyle{ |\angle B| > |\angle A| > |\angle C| }\) z konstrukcji,

\(\displaystyle{ |\angle DBC|=|\angle ACB| }\) trójkąt DBC jest równoramienny,

\(\displaystyle{ |DB|= |CD| \ \ (*) }\) - naprzeciw równych kątów leżą równe boki.

Dodajemy obustronnie do równania \(\displaystyle{ (*) }\) długość boku \(\displaystyle{ |AD| }\)

\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |CD|+|AD| }\)

\(\displaystyle{ |CD| + |AB| = |AC|}\)

\(\displaystyle{ |DB| + |AD| = |AC| \ \ (**) }\)

Dla trójkąta \(\displaystyle{ ADB }\) zachodzi nierówność

\(\displaystyle{ |DB| + |AD| > |AB| \ \ (***) }\) suma długości dwóch boków trójkąta jest większa od długości boku trzeciego

Z \(\displaystyle{ (**) , (***) }\)

\(\displaystyle{ |AC| > |AB|}\)

Już wszystko jasne, wkradła się mała literówka.

O ile na poziomie szkoły podstawowej to rozwiązanie należałoby uznać za poprawne, chciałbym zauważyć, że zakłada ono prawdziwość nierówności trójkąta. Rozwijając geometrię aksjomatycznie zazwyczaj nierówność trójkąta dowodzi się właśnie z użyciem własności "naprzeciwko większego boku leży większy kąt". Aby uniknąć błędnego koła, powinniśmy zaprezentować inny dowód np. z użyciem twierdzenia o kącie zewnętrznym.