żS-5, od: Sylwek, zadanie 4

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-5, od: Sylwek, zadanie 4

Post autor: Liga » 22 paź 2007, o 08:09

Sylwek pisze:Rysunek pomocniczy:
i22.tinypic. com/33nx6ia.gif

Ponieważ figura ABCD jest rombem oraz \(\displaystyle{ P_{ADE}=P_{DCF}=P_{DEBC}}\), to \(\displaystyle{ CF=AE}\), a z tego bardzo ważny wniosek, że \(\displaystyle{ DF=DE}\). Prawdą jest również, że \(\displaystyle{ EB=BF}\). Z tego wynika, że odcinek DB dzieli czworokąt DEBF na dwa trójkąty o równych polach. Czyli:
\(\displaystyle{ P_{ADE}=2P_{DEB} \\ \frac{1}{2} AE h= 2 \frac{1}{2} EB h \\ AE=2 EB}\)

Ale: \(\displaystyle{ AE+EB=a \\ EB=a-AE}\), więc:
\(\displaystyle{ AE=2a-2AE \\ AE=\frac{2}{3}a}\)

Ponieważ mamy do czynienia z rombem, czyli \(\displaystyle{ \angle DAE = \pi - }\).
Możemy więc wyliczyć \(\displaystyle{ DE}\) z twierdzenia cosinusów:
\(\displaystyle{ DE^2=a^2+\frac{4}{9}a^2-\frac{4}{3}a^2 \cos ( \pi - ) \\ DE^2=\frac{13}{9}a^2+\frac{4}{3}a^2 \cos \\ DE^2=\frac{a^2}{9}(13+12 \cos ) \\ DE=\frac{a}{3}\sqrt{(13+12 \cos )}}\)

A skoro wcześniej dowiedliśmy, że \(\displaystyle{ DE=DF}\), to mamy już odpowiedź.

Odpowiedź: Szukane odcinki DE i DF mają długość \(\displaystyle{ \frac{a}{3}\sqrt{(13+12 \cos )}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2007, o 20:54 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-5, od: Sylwek, zadanie 4

Post autor: scyth » 28 paź 2007, o 20:53

bardzo ładnie i elegancko, 5/5.

ODPOWIEDZ