Matematyka.pl

Wyznacz równanie prostej do której należy punkt \(\displaystyle{ P(-6,15)}\) i takiej, że odległość punktu \(\displaystyle{ Q(4,-5)}\) od tej prostej wynosi \(\displaystyle{ 10}\).

Mam pytanie jak zrobić to zadanie? Z logicznego punktu widzenia powinny wyjść dwie odpowiedzi, czyli dwie proste spełniające warunki zadania, ale jak to w miarę elegancko zrobić? Ja napisałem równanie prostej w postaci kierunkowej \(\displaystyle{ y=ax+b}\), podstawiłem do niej punkt \(\displaystyle{ P}\), przekształciłem następnie równanie prostej do postaci kierunkowej \(\displaystyle{ ax-y+b=0}\) i skorzystałem ze wzoru na odległość i wyszło mi \(\displaystyle{ a=- \frac{3}{4}, b=10,5 }\) (dobrze?), a co z drugą prostą? Wychodzi mi na to, że będzie to prosta pionowa \(\displaystyle{ x=-6}\), ale jak to jakoś rachunkowo udowodnić?

W ogóle jeśli można jakoś zrobić to zadanie, żeby elegancko wyszły dwie proste to też proszę o komentarz.

Równanie szukanej prostej to \(\displaystyle{ Ax+By+C=0}\).

Z warunków zadania masz dwa równania:

\(\displaystyle{ -6A+15B+C=0}\)

i

\(\displaystyle{ \frac{|4A-5B+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}=10.}\)

I liczysz.

JK

No ok, ale to są dwa równania, trzy niewiadome, to jak to rozwiązać?

Wyznacz \(\displaystyle{ C}\) z pierwszego, wstaw do drugiego i rozwiązuj, zamiast martwić się na zapas...

JK

No dobra, faktycznie wychodzi. Potem wystarczy podstawić pod \(\displaystyle{ A=1}\) i wychodzi, zgadza się?

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 19:11Potem wystarczy podstawić pod \(\displaystyle{ A=1}\) i wychodzi, zgadza się?

Potem \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza (bo \(\displaystyle{ A\ne 0}\)).

JK

Nie no jak \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza? Po podstawieniu, podniesieniu do kwadratu i uproszczeniu dostaję równanie \(\displaystyle{ 3B^2=4AB}\) i z tego wychodzi, że \(\displaystyle{ B=0}\) i \(\displaystyle{ C=6A}\) i to jest jedno rozwiązanie i drugie \(\displaystyle{ B \neq 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\) i \(\displaystyle{ C=-14A}\) no i chyba trzeba \(\displaystyle{ A=1}\) popodstawiać i wychodzi?

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02 Nie no jak \(\displaystyle{ A}\) się upraszcza?

Normalnie.

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02 i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\) i \(\displaystyle{ C=-14A}\)

I wtedy masz prostą \(\displaystyle{ Ax+\frac{4}{3}Ay-14A=0}\), a ponieważ \(\displaystyle{ A\ne 0}\), więc możesz uprościć dzieląc obustronnie przez \(\displaystyle{ A}\).

JK

No dobra, ok faktycznie, ale przecież to jest równoważne z podstawieniem pod \(\displaystyle{ A=1}\), o czym pisałem wcześniej? No, ok, a skąd bierzesz to założenie, że \(\displaystyle{ A \neq 0}\)?

max123321 pisze: 27 wrz 2022, o 04:56No, ok, a skąd bierzesz to założenie, że \(\displaystyle{ A \neq 0}\)?

max123321 pisze: 26 wrz 2022, o 21:02drugie \(\displaystyle{ B \neq 0}\) i wtedy \(\displaystyle{ B= \frac{4}{3}A }\)

JK

max123321

Może mniej problemów sprawi Ci drugi sposób rozwiązania tego zadania - bez wymagań rozwiązania układu dwóch równań o trzech niewiadomych z

wartością bezwzględną ?

Piszemy równanie pęków prostych przechodzących przez punkt \(\displaystyle{ P= (-6, 15) }\)

\(\displaystyle{ y = m\cdot (x+6) +15 \ \ (1)}\)

Piszemy równanie kanoniczne okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q = (4, -5)}\) i promieniu \(\displaystyle{ r = 10 }\)

\(\displaystyle{ ( x-4)^2 + (y+5)^2 = 10^2 \ \ (2) }\)

Zapisujemy układ równań \(\displaystyle{ (1), (2) }\) w postaci równania kwadratowego z parametrem \(\displaystyle{ m,}\) żadając, aby prosta była styczną

do tego okręgu, czyli aby wyróżnik \(\displaystyle{ \Delta }\) tego równania był równy zeru.

Wyznaczamy wartość parametru \(\displaystyle{ m }\) i wstawiamy do równania \(\displaystyle{ (1).}\)

Janusz dobra..., już J. Kraszewski wytłumaczył mi to zadanie... nie musisz się produkować...

max123321 pisze: 27 wrz 2022, o 18:45 Janusz dobra..., już J. Kraszewski wytłumaczył mi to zadanie... nie musisz się produkować...

To nie było miłe. A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy

Ale z postaci kierunkowej nie dostaniemy pionowej.

a4karo pisze: 27 wrz 2022, o 20:21A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy

Jesteś pewny?

JK