Wyznacz równanie prostej

Obiekty i przekształcenia geometryczne, opisane za pomocą układu (nie zawsze prostokątnego) współrzędnych.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: a4karo »

piasek101 pisze: 27 wrz 2022, o 20:35 Ale z postaci kierunkowej nie dostaniemy pionowej.
To napiszemy `m(y-y_0)=x-x_0`. Albo pomyślimy co nam wyszło i dlaczego.
a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22173
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 38 razy
Pomógł: 3748 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: a4karo »

Jan Kraszewski pisze: 27 wrz 2022, o 20:35
a4karo pisze: 27 wrz 2022, o 20:21A sposób pokazany przez Janusza jest akurat rachunkowo najprostszy
Jesteś pewny?

JK
To oczywiście kwestia gustu, ale to jest mój pierwszy wybór.

PS zauważ, że jeszcze nie uzasadniłeś dlaczego \(\displaystyle{ A\neq 0}\). To sprowadza się do uwagi piaska, że nie dostanę prostej pionowej.

A jak nie chcemy się bawić w wyjątki, to równanie pęku napiszemy w postaci `(y-y_0)\sin t=(x-x_0)\cos t` (może troszkę przesadzam tutaj - nie chce mi się sprawdzać).
Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 34128
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 5192 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: Jan Kraszewski »

a4karo pisze: 27 wrz 2022, o 20:45To oczywiście kwestia gustu, ale to jest mój pierwszy wybór.
Zacząłem to liczyć i zdecydowanie nie jest to mój pierwszy wybór.
a4karo pisze: 27 wrz 2022, o 20:45PS zauważ, że jeszcze nie uzasadniłes dlaczego \(\displaystyle{ A\neq 0}\).
Uzasadniłem, kilka postów wyżej (post nad Januszem).

JK
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: janusz47 »

Zadanie to można rozwiązać też metodą analizy matematycznej, wykorzystując fakt, że ze wszystkich odległości najmniejszą odległością jest odległość w kierunku prostopadłej.
janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7910
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 30 razy
Pomógł: 1670 razy

Re: Wyznacz równanie prostej

Post autor: janusz47 »

Równanie pęku prostych w punkcie \(\displaystyle{ P= (-6, 15) }\)

\(\displaystyle{ y = m(x+6) +15 \ \ (1) }\)

Równanie okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ Q =(4,-5) }\) i promieniu \(\displaystyle{ r = 10.}\)

\(\displaystyle{ (x-4)^2 + (y+5)^2 = 10^2 \ \ (2) }\)

Równanie kwadratowe z parametrem \(\displaystyle{ m }\) powstałe z układu równań \(\displaystyle{ (1), \ \ (2) }\)

\(\displaystyle{ (x-4)^2 +[m(x+6) +15 +5]^2 = 100 }\)

\(\displaystyle{ (x-4)^2 +[m(x+6) +20]^2 = 100 }\)

\(\displaystyle{ x^2 -8x +16 + m^2(x+6)^2 +40m(x+6) +400 = 100 }\)

\(\displaystyle{ x^2 -8x +16 +m^2x^2 +12m^2x +36m^2 + 40mx +240m +300 = 0 }\)

\(\displaystyle{ (m^2+1)x^2 +(12m^2 +40m -8)x +36m^2 +240m +316 = 0 }\)

\(\displaystyle{ (m^2+1)x^2 +4(3^2 +10m -2)x +4(9m^2 +60m +79) =0 }\)

Wyróżnik równania

\(\displaystyle{ \Delta = 16(3m^2 +10m -2)^2 -16(m^2+1)(9m^2+60m +79) }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 16[ 9m^4 +6m^2(10m-2)+(10m-2)^2 -9m^4 -60m^3 - 79m^2 -9m^2 -60m -79] }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 16[ 9m^4 +60m^3- 12m^2 +100m^2 -40m +4 -9m^4 -60m^3-79m^2-9m^2-60m -79] }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 16[ -100m -75] }\)

\(\displaystyle{ \Delta = 0, }\) gdy \(\displaystyle{ m= -\frac{75}{100} = -\frac{3}{4}.}\)

Równanie prostej

\(\displaystyle{ y = -\frac{3}{4}(x +6) +15 = -\frac{3}{4}x -\frac{18}{4} + \frac{60}{4} = -\frac{3}{4}x + \frac{42}{4}= -\frac{3}{4}x+\frac{21}{2}.}\)

\(\displaystyle{ y = -0,75x +10,5.}\)
Załączniki
Prosta.jpg
ODPOWIEDZ