Matematyka.pl

Cześć,

w starym wydaniu Resnicka jest omawiane takie zagadnienie. Człowiek trzyma w ręku pręt, do którego przymocowane jest koło. Koło może swobodnie się obracać. W pewnej chwili człowiek unosi pręt tak jak na rysunku poniżej. Na rysunku czerwony wektor L, to końcowy moment pędu. Zielony wektor L, to początkowy moment pędu. dL to zmiana pędu. W książce napisali, że koło zboczy wtedy na prawo. I tutaj tego nie rozumiem. Zgodnie z zasadą \(\displaystyle{ \vec{M}=\frac{d \vec{L}}{dt}}\), moment siły, który zmienia L powinien mieć kierunek pionowy i zwrot do góry. Taki moment siły da siła, która byłaby prostopadła do koła i skierowana w lewo (względem człowieka). Według mnie koło powinno skręcić w lewo.

Czy mogę prosić o rozwianie wątpliwości?

Pozdrawiam,

Michał

michalkl pisze: ↑24 wrz 2022, o 08:06 W pewnej chwili człowiek unosi pręt tak jak na rysunku poniżej.

Czyli jak, bo dla mnie to nie jest jasne.

W płaszczyźnie pionowej do góry o mały kąt.

Zajrzałem do książki i w sumie piszą to samo co Ty. Żeby zmienić moment pędu pionowo do góry to musimy zadziałać odpowiednią siłą w lewo, bo jak nie zadziałamy, to koło wypadnie z płaszczyzny pionowej w stronę prawą. Działanie w lewo przeciwdziała temu i pozwala utrzymać wirujące koło w rozważanej płaszczyźnie.

Nie rozumiem tylko czemu koło ma skręcić w prawo, gdy je podnosi człowiek. Z tego wynika, że działający moment siły na koło powinien mieć zwrot przeciwny (czyli pionowo w dół). Skąd ma się wziąć ten moment siły?

Z dążności do precesji (ruchu precysyjnego) o momencie \(\displaystyle{ \overline{\tau} = \frac{\Delta L}{\Delta t}. }\)

W tym przypadku \(\displaystyle{ \overline{\tau} = m\cdot g \cdot d. }\)

A czy ten moment siły nie będzie obracał pręt początkowo w lewo? Zgodnie z podręcznikiem pręt powinien przy niewielkim obrocie do góry skręcić prętem w prawo.

Trochę pomyślałem nad tym i doszedłem do takich wniosków. Niech pręt będzie ustawiony wzdłuż osi y. Siła ciężkości daje moment obrotowy M (skierowany w kierunku -x). Człowiek obracając pręt do góry musi działać z momentem M' (wzdłuż osi +x). Moment M' jest większy niż moment M i z tego powodu wektor zmiany pędu układu będzie skierowane wzdłuż osi +x. Koło zaczyna odchylać się na prawo.

Człowiek jeżeli chce zachować koło w płaszczyźnie pionowej (y-z) musi działać z siłą skierowaną w lewo (oś -x). Taka siła da zmianę momentu pędu skierowany wzdłuż osi +z. Człowiek musi również tak dopasować moment M' wzdłuż osi +x, aby zrównał się on z momentem od siły ciężkości. W przeciwny razie pręt zacznie odchylać się w płaszczyźnie x-y.

Nic lepszego nie przychodzi mi do głowy.

Przykładamy siłę ciężkości w środku koła. Co się zmieni ?

Uważam, że tylko wartość momentu siły pochodzącego od siły ciężkości. Kierunek momentu nadal jest w lewo.

Tak. Jest większa wartość momentu siły \(\displaystyle{ M }\) (zmieniłem literkę \(\displaystyle{ \tau }\) na \(\displaystyle{ M) }\), bo większa jest długość ramienia \(\displaystyle{ d. }\)

Jaki moment siły musimy przyłożyć do wirującego koła aby zmienić kierunek osi obrotu ?

Niech w chwili początkowej oś obrotu będzie skierowana wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox, }\) a prędkość kątowa koła koła po wprowadzeniu go w ruch obrotowy wynosi \(\displaystyle{ \omega_{0}.}\)

Zatem początkowy moment pędu jest skierowany wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox }\) i wynosi

\(\displaystyle{ \vec{L}_{0} = I\cdot \vec{\omega_{0}}. }\)

Załóżmy, że chcemy podnieść oś obrotu o pewien kąt \(\displaystyle{ \theta }\) w płaszczyźnie \(\displaystyle{ Oxz }\) w kierunku do \(\displaystyle{ Oy }\).

Co to oznacza? Oznacza to powstanie dodatkowego ruch obrotowego, przy czym zakładamy, że prędkość kątowa \(\displaystyle{ \omega }\) tego ruchu jest mała w stosunku do pierwotnej prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega_{0} }\) i moment pędu wirującego koła nie będzie zmieniał swojej wartości, a jedynie kierunek.

Przemieszcznie końca wektora \(\displaystyle{ \vec{L}_{0} }\) w czasie \(\displaystyle{ \Delta t }\) wynosi

\(\displaystyle{ \Delta L = L_{0} \cdot \theta = L_{0}\cdot \omega \cdot \Delta t.}\)

Stąd

\(\displaystyle{ \frac{\Delta L}{\Delta t} = L_{0}\cdot \omega. }\)

Ale wiemy, że \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t} = \vec{M} }\) jest średnim momentem sił zewnętrznych. Moment ten powoduje zmianę wektora \(\displaystyle{ \vec{L_{0}} }\) ze średnią prędkością \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t}. }\)

Wektor \(\displaystyle{ \frac{\Delta \vec{L}}{\Delta t} }\) jest skierowany wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oz, }\) wektor \(\displaystyle{ \vec{L}_{0} }\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ Ox, }\) a dodatkowa prędkość kątowa \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oy }\)

Równanie wektorowe ma postać:

\(\displaystyle{ \vec{M} = \vec{\omega} \times \vec{L}_{0}.}\)

Jest to iloczyn wektorowy dodatkowej prędkości kątowej i początkowego momentu pędu.

Oznacza to, że wektor \(\displaystyle{ \vec{M} }\) ma kierunek osi \(\displaystyle{ Oz.}\)

Moment ten może być wywołany siłą przyłożoną do koła i skierowaną wzdłuż osi \(\displaystyle{ Oz. }\)

Otrzymaliśmy więc następujący efekt. Jeśli do koła (ciała) wykonującego ruch obrotowy przyłożony jest moment siły \(\displaystyle{ \vec{M} }\) prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{L}_{0}, }\) to pod wpływem tego momentu nastąpi obrót koła w kierunku prostopadłym zarówno do wektora \(\displaystyle{ \vec{M} }\), jak i do wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega}_{0}.}\)

Efekt ten nosi nazwę efektu żyroskopowego.

Jeśli moment sił zewnętrznych działa w sposób ciągły i wektor \(\displaystyle{ \vec{M} }\) jest prostopadły do wektora \(\displaystyle{ \vec{L} }\) , to wektor ten, a wraz z nim i oś symetrii wykonują w przestrzeni ruch, który nazywamy ruchem precesyjnym.

Człowiek, chcąc utrzymać pręt w płaszczyźnie pionowej musi przeciwdziałać efektowi żyroskopowemy, jeśli tego nie uczyni - pręt wychyli się w prawo względem tej płaszczyzny.

Michalki jesteś entuzjastą fizyki, starającym się zrozumieć jej zjawiska . Proponuję rozwiązać następujące zadanie dotyczące ruchu precesyjnego.

Zadanie
Proszę obliczyć prędkość kątową \(\displaystyle{ \omega }\) cylindrycznego żyroskopu, jeśli wykonuje on jeden pełny obrót wokół własnej osi w czasie \(\displaystyle{ T = 4 s. }\) Wymiary żyroskopu jak na rysunku. Masę jego osi pomijamy. Przyjmujemy moment bezwładności walca względem osi \(\displaystyle{ I = mR^2, }\) wartość przyśpieszenia ziemskiego \(\displaystyle{ g = 9,81 \ \ \frac{m}{s^2}.}\)
Jaki jest kierunek \(\displaystyle{ \vec{\omega} ?}\)

Rozwiązanie

Wartość chwilowa prędkości kątowej koła cylindryczego żyroskopu

\(\displaystyle{ \omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{\frac{dL}{L}}{dt} = \frac{dL}{dt}\cdot \frac{1}{L} = \frac{M}{L} \ \ (1)}\)

Wartość momentu siły

\(\displaystyle{ M = m\cdot g \cdot R \ \ (2)}\)

Wartość momentu bezwładności

\(\displaystyle{ L = I\cdot \Omega = m\cdot R^2\cdot \Omega \ \ (3) }\)

Podstawiamy równania \(\displaystyle{ (2), \ \ (3) }\) do równania \(\displaystyle{ (1) }\)

\(\displaystyle{ \omega = \frac{m\cdot g \cdot r }{m\cdot R^2\cdot \Omega} = \frac{g \cdot r }{R^2\cdot \Omega}.}\)

Po podstawieniu danych liczbowych

\(\displaystyle{ \omega = \frac{\left( 9,81 \frac{m}{s^2}\right) \cdot (2\cdot 10^{-2} m)}{(3\cdot 10^{-2} m)^2\cdot \left(\frac{ 2\pi}{4} \frac{rad}{s}\right)} \approx 139 \frac{rad}{s} = 1327 \frac{obr}{min}. }\)

Kierunek i zwrot wektora \(\displaystyle{ \vec{\omega} }\) jest taki sam jak wektora \(\displaystyle{ \vec{L}.}\)

Wniosek

Precesja kątowa \(\displaystyle{ \Omega }\) jest dużo mniejsza od prędkości kątowej \(\displaystyle{ \omega.}\) W tym zadaniu mamy doczynienia z powolną precesją.

Dziękuję za odpowiedzi. Do zadania jeszcze zajrzę później i się nad nim zastanowię.

Wcześniej nie patrzyłem się na to w ten sposób. Jeżeli potraktować \(\displaystyle{ \frac{\Delta \theta}{\Delta t} }\) jako \(\displaystyle{ \omega}\) (prędkość kątową precesji), to faktycznie daje to dodatkowe \(\displaystyle{ \Delta L}\) na prawo.

Zastanawia mnie jeszcze co jest źródłem tego momentu siły co daje \(\displaystyle{ \Delta L}\) na prawo. Zgodnie z wzorem \(\displaystyle{ \vec{M}=\vec{r} \times \vec{F}}\), powinna być jakaś siła skierowana do góry względem osi pręta. Dobrze rozumuję, że źródłem tej siły jest sam człowiek?

Pozdrawiam
Michał

Dobrze.