żS-5, od: Sylwek, zadanie 2

Liga
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 168
Rejestracja: 29 wrz 2006, o 18:17
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Forum Matematyka.pl

żS-5, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: Liga » 22 paź 2007, o 08:07

Sylwek pisze:\(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases}}\)

Najpierw dziedzina:
\(\displaystyle{ \mathbb{D}: x \geq 0 \wedge y>0}\)

I dopiero zabawa :lol: . Pozbywamy się niewymierności z pierwszego mianownika z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x}}{y}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \frac{2\sqrt{x}}{y}=\frac{3}{8} \\ 16\sqrt{x}=3y}\)

Dostajemy postać równoważną:
\(\displaystyle{ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases} \\ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ 16\sqrt{x}+16\sqrt{y}=112 \end{cases}}\)

Odejmijmy stronami:
\(\displaystyle{ 16\sqrt{y}=112-3y \\ 256y=12544-672y+9y^2=0 \\ 9y^2-928y+12544=0 \\ y=16 \vee y=\frac{784}{9}}\)

Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{784}{9}}>7}\), to z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2007, o 20:54 przez Liga, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

żS-5, od: Sylwek, zadanie 2

Post autor: scyth » 28 paź 2007, o 14:33

OK, choć jak dla mnie mógł sobie uprościć liczenie y. Ja daję 5/5

ODPOWIEDZ