Matematyka.pl

W pojemniku jest 30 całych tabletek. Pacjent przyjmuje pół tabletki dziennie.
Codziennie wybiera losowo jedną sztukę leku z pojemnika. Jeżeli jest to cała tabletka, to łamie ją, jedną połowę zjada a drugą odkłada do pojemnika. Jeżeli jest to pół tabletki, to po prostu ją zjada.
Pewnego dnia pacjent stwierdził, że w pojemniku pozostała jedna sztuka leku (zdarzyło się to po raz pierwszy od kiedy zażywa leki z tego pojemnika). Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to cała tabletka?

Użycie liczb Catalana upraszcza zadanie.
\(\displaystyle{
P= \frac{C_{29}}{C_{30}}= \frac{ {58 \choose 29}-{58 \choose 30} }{{60 \choose 30}-{60 \choose 31} } }\)

Pewnie jakoś upraszcza. Ale zrobiłem drzewko dla trzech tabletek (O oznacza cała tabletkę, D - połówkę) i nie wychodzi mi iloraz `C_2/C_3`

Nie wiem jaki wynik wychodzi, ale w Twoje drzewko można nieco zoptymalizować poprzez złączenie takich samych poddrzew \(DO\). Wyniki można obliczać korzystając ze wzoru rekurencyjnego \(\displaystyle{ P(D^pO^{s-p})=\frac {p+1}{s+1} P(D^{p+1}O^{s-p})+\frac {s-p+1}{s} P(D^{p-1}O^{s-p+1})}\). Dla trzech tabletek to jest taka tabelka: Ostatnia wartość w każdym wierszu jest niepotrzebna, ale dzięki niej mamy sprawdzenie, że na koniec dostaliśmy \(P(D)=P(O)+P(DD)=1\).

Dla \(30\) tabletek przybliżony wynik to \(P(O)\approx0{,}1792\) według arkusza kalkulacyjnego.

Nie wiem czy mój pomysł jest super czy totalną bzdurą, ale ja użyłbym procesu łańcuchów Markowa (wczoraj na zajęciach z metod numerycznych mieliśmy narysowany domek i oznaczony nr 1 oraz pub i oznaczony nr 8, trzeba było policzyć prawdopodobieństwo tego, że osoba znajdzie się w domu po iluś tam krokach), ponieważ podane zadanie - mniej lub bardziej słusznie - mi się skojarzyło z wczorajszym zadaniem

Ogólne rozwiązanie problemu z symulacjami dla \(\displaystyle{ : n = 20, 100, 1000 }\) pigułek w butelce:

patrz artykuł: Daniel J. Velleman. A Drug-Induced Random Walk. the American Mathematical Monthly.