Strona 1 z 1
Kryteria zbieżnosci metody Newtona
: 18 wrz 2022, o 18:51
autor: Borneq
Jakie są kryteria zbieżności tej metody? Zarówno w przypadku jedno- jak i wielowymiarowym, metoda Newtona znana jest jako szybka, ale niekoniecznie zbieżna metoda. Czy są jednak jakieś kryteria, po spełnieniu których (chodzi o miejsce wyboru punktu startowego) będzie zawsze zbieżna?
Re: Kryteria zbieżnosci metody Newtona
: 18 wrz 2022, o 20:23
autor: janusz47
Metoda Newona jest zbieżna z kwadratem.
Żąda ciągłości funkcji \(\displaystyle{ f, f', f'' }\) w sąsiedztwie pierwiastka \(\displaystyle{ r }\) funkcji \(\displaystyle{ f, }\) żąda \(\displaystyle{ f'(r) \neq 0 }\) i odpowiedniego wyboru punktu początkowego (startowego) \(\displaystyle{ x_{0},\ \ |r -x_{0}| \leq \delta.}\)
Analizę zbieżności i błędu metody polecam z podręcznika
DAVID KINCAID WARD CHENEY analiza numeryczna. Wydawnictwa Naukowo - Techniczne Warszawa 2006.
Re: Kryteria zbieżnosci metody Newtona
: 20 wrz 2022, o 17:00
autor: Borneq
Tu mam układ równań , który w Sage daje
Kod: Zaznacz cały
var ('x y')
eq1 =-0.351123+0.498491*x+0.661281*y+0.215502*x^2-0.490734*x*y-0.302189*y^2 == 0
eq2 =-0.125709+0.771403*x-0.545184*y-0.245186*x^2-1.802217*x*y+0.769120*y^2 == 0
solutions = solve([eq1, eq2], x, y)
print(solutions)
[
[x == 0.009391870239357112, y == 0.9016970198675497],
[x == 0.2185784658691063, y == 1.186851361327022],
[x == 0.4896756082345602, y == 0.1469892668728397],
[x == -1.043734230445753, y == 0.6520079185520362]
]
metoda Newtona daje jeszcze lepsze przybliżenie pierwiastków:
Kod: Zaznacz cały
roots[4][2] = {{0.00939187054983161,0.901697014632288},
{0.218578480937716,1.18685135954793},
{0.489675607879736,0.146989272115097},
{-1.04373412714342,0.652007908387428}};
Załączam , jak dla tego przykładu wyglądają obszary przyciągania pierwiastków
kolor szary - nie zbiega do żadnego pierwiastka
Jest to obszar [-2,2][-2,2]
Pytanie, czy jest jakieś kryterium, że dla pewnego obszaru w którym leży pierwiastek (niekoniecznie w jego środku) cały obszar jest jednego koloru?
Re: Kryteria zbieżnosci metody Newtona
: 20 wrz 2022, o 19:41
autor: janusz47
Metoda Newtona w dziedzinie zespolonej:
\(\displaystyle{ z_{0}= z; \ \ z_{n+1} = z_{n} - \frac{p_{n}}{p^{'}(z_{n})} , \ \ n\geq 0 }\)
Założenia:
\(\displaystyle{ p_{n}(z) }\) wielomian stopnia conamniej drugiego i \(\displaystyle{ \xi }\) - jeden z jego pierwiastków.
Jeśli \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} z_{n} = \xi }\) to punkt \(\displaystyle{ z }\) jest przyciągany przez \(\displaystyle{ \xi. }\)
Zbiór wszystkich punktów \(\displaystyle{ z }\) przyciąganych przez \(\displaystyle{ \xi }\) jest zbiorem przyciągania.
Każdy pierwiastek wielomianu ma swój zbiór przyciągania. Zbiory przyciągania są parami rozłączne, bo ciąg zbieżny do jednego pierwiastka nie może być zbieżny do drugiego.
Są liczby zespolone które nie należą do żadnego zbioru przyciągania - są to punkty dla których Metoda Newtona nie jest zbieżna.
Te punkty tworzą zbiór Julii wielomianu \(\displaystyle{ p_{n} }\) dla upamiętnienia prac francuskiego matematyka Gaston Julia.
" Jeśli wszystkie pierwiastki wielomianu \(\displaystyle{ p_{n} }\) są pojedyńcze to zbiory przyciągania są otwarte, zbiór Julii składa się z brzegów tych zbiorów."
Nie spotkałem kryterium dla jednokolorowch obszarów przyciągania.