Matematyka.pl

Mam wielomian \(\displaystyle{ P(x,y) \rightarrow (x,y)}\) zdefiniowany na trójkątnym płacie.
Szczególne interesuje mnie ograniczenie się tylko do sumarycznego stopnia 2, czyli \(\displaystyle{ (1,x,y,xy, x^2, y^2)}\)
Jak dla danego obszaru określić, ile pierwiastków się znajduje?
Czy są wzory podobne do tych dla 1D:
$$
R=1+\max_{k=0,...,n-1}\left|\frac{a_k}{a_n}\right|
$$
oraz
$$
R=\max\left(1,\frac{|a_0|+|a_1|+...+|a_{n-1}|}{|a_n|}\right).
$$
Najpilniejszą sprawą jest wygenerowanie przykładów, dla których miałbym pewność, gdzie znajdują się pierwiastki. Czy jest jakiś sposób na generowanie wielomianu na podstawie pierwiastków?
Dla 1D mamy \(\displaystyle{ (x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)}\), czy tu mamy coś w rodzaju mnożenia członów, które wyglądałyby jakoś tak
\(\displaystyle{ (x-a \cdot x - b \cdot y)}\) ?
Czy wielomiany stopnia sumarycznego 2 mogą mieć maksymalnie 4 pierwiastki, o ile nie ma rozwiązań tożsamościoswych ?

Jaką metodę użyć do znajdowania pierwiastków ? Jedną z metod to szukanie na trójkątnym płacie przy zamianie na bazie Bernsteina, wykorzystując fakt, że funkcja musi mieścić się w otoczce wypukłej swych punktów, można dzielić na podtrójkąty i eliminować rozwiązania.
To ma wady:
- szuka tylko rozwiązań na trójkącie, nie globalnie
- nie znam liczności pierwiastków na trójkącie, muszę dzielić do końca, zamiast użyć szybkiej metody Newtona od pewnego miejsca?
Zainteresowałem się bazami Grobnera.
Jednak te implementacje na Githubie są niedokończone; jest ale wymaga Maple.
Poza tym algorytm F4 działa na ciele skończonym, zamiast na liczbach rzeczywistych. Chyba nie służy do rozwiązywania równań.
Te równania dla ułatiwenia to tylko dwie zmienne i tylko druga potęga.

Rozwiązaniem takich równań na ogół nie są pojedyncze punkty, ale krzywe. Ilość rozwiązań jest zatem nieskończona.

Wiesz czym jest rozwiązanie równania `x^2+y^2-1=0`?

Zapomniałem napisać że to są funkcje \(\displaystyle{ \RR^2 \rightarrow \RR^2 }\) albo inaczej, układ dwóch równań \(\displaystyle{ (x,y) \rightarrow z}\) dla których liczy się funkcje uwikłane, które \(\displaystyle{ (x,y)}\) które przecinają oś \(\displaystyle{ z}\) w punkcie \(\displaystyle{ 0}\). Punkty wspólne tych funkcji uwikłanych dają pierwiastki.
To równanie to okrąg w punkcie \(\displaystyle{ (0,0)}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Właśnie chodzi mi o poszukiwanie punktów przecięcia łuków z odcinkami i łuków z łukami.

Nie, nie zapomniałeś. Napisałes o czymś zupełnie innym. Wielomiany nie przyjmują wartości w `\RR^2`.
Może więc zastanów się i napisz jeszcze raz o co pytasz.

Czyli nie wielomian, a układ dwóch równań

Czy możliwe jest wygenerowanie układu dwóch równań wielomianowych na podstawie pierwiastków?
Dla jednego wielomianu wystarczy pomnożyć \(\displaystyle{ (x-x_1)(x-x_2)..(x-x_n)}\)
Co więcej, można uzyskać jeden pierwiastek układu równań poprzez sterowanie wyrazem wolnym aby równoważył resztę członów.
Ale jak wymusić np. dwa konkretne pierwiastki rzeczywiste ?
A jak nie ma możliwości, to jak wyszukać za pomocą np. hill climbing ?