Matematyka.pl

Witajcie, niech \(\displaystyle{ [a,b]\subset\mathbb{R}}\) będzie odcinkiem. Weźmy pewien ustalony \(\displaystyle{ \varepsilon>0}\). Pokazać, że

\(\displaystyle{ \bigcup_{x\in[a,b]}[x,x+\varepsilon]=\bigcup_{x\in[a,b]\cap\mathbb{Q}}[x,x+\varepsilon]}\), gdzie \(\displaystyle{ \mathbb{Q}}\) jest zbiorem liczb wymiernych. Wiem, że to proste zadanie, ale jakoś nie mogę sobie przypomnieć jak to działa.

Proste ale się nieprawdziwe. Jeżeli `b` jest niewymierne, to `b+\varepsilon` należy do lewej, a nie należy do prawej

Dobrze, zgadzam się. A gdyby rozważyć sumę po \(\displaystyle{ x\in[a,b)}\)?

To nie pokryjesz lewego niewymiernego końca

Zatem raczej:

\(\displaystyle{ \bigcup_{x \in (a, b)} [x, x+\varepsilon] = \bigcup_{x \in (a, b) \cap \mathbb{Q}} [x, x+\varepsilon]}\).

Zawieranie z prawej do lewej jest oczywiste, a w drugą stronę weźmy dowolne \(\displaystyle{ x \in (a, b)}\). Z gęstości zbioru liczb wymiernych można znaleźć \(\displaystyle{ x_1, x_2 \in (a, b) \cap \mathbb{Q}}\), takie że \(\displaystyle{ x - \frac{\varepsilon}{2} < x_1 < x < x_2 < x + \frac{\varepsilon}{2}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ [x, x+\varepsilon] \subseteq [x_1, x_1 + \varepsilon] \cup [x_2, x_2 + \varepsilon]}\),

a stąd lewa suma zawiera się w prawej.