[Liga maturalna] Seria 5 (22.10.07r.-28.10.07r.), wyniki

Historia, regulamin, zadania i oceny Konkursów oraz Ligi prowadzonej na Forum.
Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 5 (22.10.07r.-28.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 22 paź 2007, o 00:00

  1. Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) dwa pierwiastki równania
    \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0}\)

    mają różne znaki?
  2. Rozwiąż układ równań:
    \(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7. \end{cases}}\)
  3. Oblicz cosinus kąta ostrego między przekątnymi prostokąta, którego wierzchołkami są punkty wspólne krzywych o równaniach:
    \(\displaystyle{ x^2+2y^2=24 \\ x^2-2y^2=8.}\)
  4. Romb o kącie ostrym \(\displaystyle{ \alpha}\) i boku \(\displaystyle{ a}\) podzielono odcinkami poprowadzonymi z wierzchołka tego kąta na trzy części o równych polach. Wyznacz długości tych odcinków.
__________

Rozwiązania należy przesyłać do końca niedzieli (tj. 28 października) na konto Liga wyłącznie poprzez PW klikając tu: według schematu i zasad podanych w poniższym temacie:

http://matematyka.pl/viewtopic.php?t=42434

Zapraszamy. Powodzenia
Ostatnio zmieniony 1 lis 2007, o 00:25 przez bolo, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

[Liga maturalna] Seria 5 (22.10.07r.-28.10.07r.), wyniki

Post autor: bolo » 29 paź 2007, o 00:04

Tabela wyników:

\(\displaystyle{ \begin{array}{l|c|c|c|c|c}\hline\hline
\mbox{Nick} & \mbox{Zad. 1 (/5)} & \mbox{Zad. 2 (/5)} & \mbox{Zad. 3 (/5)} & \mbox{Zad. 4 (/5)} & \mbox{Suma (/20,\,(100\%))}\\
\hline
\mbox{*Kasia} & 5 & - & 5 & 5 & 15\mbox{pkt.}\,\,(75\%) \\
\mbox{altair3} & - & 4 & - & - & 4\mbox{pkt.}\,\,(20\%) \\
\mbox{Piotrek89} & 3 & - & 5 & 5 & 13\mbox{pkt.}\,\,(65\%) \\
\mbox{Sylwek} & 5 & 5 & 5 & 5 & 20\mbox{pkt.}\,\,(100\%) \\
\mbox{Szemek} & 5 & - & 5 & - & 10\mbox{pkt.}\,\,(50\%) \\
\hline\hline\end{array}}\)



Wybrane nadesłane rozwiązania:
  1. \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0}\)
    \(\displaystyle{ \frac{(2x-1)(2x+1)-(x+1)(x-1)+m(x-1)(2x+1)}{(x-1)(2x+1)}=0}\)
    \(\displaystyle{ \frac{4x^2-1-(x^2-1)+m(2x^2+x-2x-1)}{(x-1)(2x+1)}=0}\)
    \(\displaystyle{ \frac{3x^2+m(2x^2-x-1)}{(x-1)(2x+1)}=0}\)
    \(\displaystyle{ \frac{3x^2+2{mx^2}-{mx}-{m}}{(x-1)(2x+1)}=0}\)
    \(\displaystyle{ D_r=R-\{-\frac{1}{2},1\}}\)
    \(\displaystyle{ \frac{3x^2+2{mx^2}-{mx}-{m}}{(x-1)(2x+1)}=0}\)|\(\displaystyle{ \cdot (x-1)(2x+1), x \in D_r}\)
    \(\displaystyle{ {(2m+3)x^2}-{mx}-{m}}=0}\)

    Żeby równanie miało dwa pierwiastki różnych znaków muszą być spełnione warunki:
    \(\displaystyle{ \begin{cases} 2m+3 \neq 0 \\ \Delta_x >0 \\ x_1 x_2 < 0 \end{cases}}\)
    \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m^2-4 \cdot (2m+3)\cdot (-m) >0 \\ \frac{-m}{2m+3}< 0 \end{cases}}\)
    \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m^2 + 8m^2+ 12m >0 \\ -m\cdot(2m+3)< 0 \end{cases}}\)
    \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m(9m+ 12) >0 \\ m(2m+3)> 0 \end{cases}}\)
    \(\displaystyle{ \begin{cases} m \neq -1\frac{1}{2} \\ m\in (-\infty , -1\frac{1}{3}) \cup (0,+\infty) \\ m \in (-\infty , -1\frac{1}{2}) \cup (0,+\infty) \end{cases}}\)
    \(\displaystyle{ m \in \left(-\infty , -1\frac{1}{2}\right) \cup (0,+\infty)}\)

    Odpowiedź: Równanie \(\displaystyle{ \frac{2x-1}{x-1}-\frac{x+1}{2x+1}+m=0}\) ma dwa pierwiastki różnych znaków dla \(\displaystyle{ m \in \left(-\infty , -1\frac{1}{2}\right) \cup (0,+\infty)}\)
  2. \(\displaystyle{ \begin{cases}\frac{1}{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases}}\)

    Najpierw dziedzina:
    \(\displaystyle{ \mathbb{D}: x \geq 0 \wedge y>0}\)

    Pozbywamy się niewymierności z pierwszego mianownika z pierwszego równania:
    \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x+y}+\sqrt{x}}{y}-\frac{\sqrt{x+y}-\sqrt{x}}{y} =\frac{3}{8} \\ \frac{2\sqrt{x}}{y}=\frac{3}{8} \\ 16\sqrt{x}=3y}\)

    Dostajemy postać równoważną:
    \(\displaystyle{ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=7 \end{cases} \\ \begin{cases} 16\sqrt{x}=3y \\ 16\sqrt{x}+16\sqrt{y}=112 \end{cases}}\)

    Odejmijmy stronami:
    \(\displaystyle{ 16\sqrt{y}=112-3y \\ 256y=12544-672y+9y^2=0 \\ 9y^2-928y+12544=0 \\ y=16 \vee y=\frac{784}{9}}\)

    Ponieważ \(\displaystyle{ \sqrt{\frac{784}{9}}>7}\), to z drugiego równania wynika, że \(\displaystyle{ \sqrt{x}}\)

Zablokowany