Powtórka do Matury - "wykaż, że..."

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Ubuntu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 21 paź 2007, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Wawy
Podziękował: 11 razy

Powtórka do Matury - "wykaż, że..."

Post autor: Ubuntu » 21 paź 2007, o 23:35

Witajcie,
podejmuje się zdania matury rozszerzonej m.in z matematyki. Aktualnie jestem w "czasie powtarzania materiału". Zatrzymałem się teraz na działaniach na potęgach (ułamkowe), wzorach skróconego mnożenia (i ich zastosowanie), działaniach z pierwiastkami, działaniach na przedziałach liczbowych oraz wartości bezwzględnej.
Przerabiam materiał z tak zwanej "Kiełbasy". Natknąłem się na zadania, z którymi mam problem. Brak mi pomysłów...

Zadanie 1:
"Liczby naturalne a i b spełniają warunek \(\displaystyle{ \frac{1}{a}}\) + \(\displaystyle{ \frac{1}{b}}\) = \(\displaystyle{ \frac{1}{7}}\). Wykaż, że iloczyn liczb a i b jest liczbą podzielną przez 7"
Zadanie 2:
"Wykaż, że kwadrat liczby postaci \(\displaystyle{ 2n + 1}\) zmniejszony o 1 jest liczbą podzielną przez 8."
Zadanie 3:
"Wykaż, że różnica kwadratów dwóch kolejnych liczb nieparzystych jest liczbą podzielną przez 8."
Zadanie 4:
"Oblicz: \(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} + ... + \frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}}\) "
Będę dozgonnie wdzięczny za pomoc.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Powtórka do Matury - "wykaż, że..."

Post autor: Sylwek » 21 paź 2007, o 23:40

Hmm, nie bardzo do tego działu się te zadanka nadają - raczej do działu "Przekształcenia algebraiczne". Poza tym między tagi [tex.] i [/tex.] bierz całe wyrażenia.


Zadanie 1.
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{7} \\ \frac{a+b}{ab}=\frac{1}{7} \\ \frac{ab}{a+b}=7 \\ ab=7(a+b)}\)

Czyli a*b jest podzielne przez 7


Zadanie 2.
\(\displaystyle{ (2n+1)^2-1=4n^2+4n+1-1=4n(n+1)}\)
n(n+1) to iloczyn dwóch kolejnych liczb całkowitych, czyli jest podzielny przez co najmniej 2. więc możemy zapisać n(n+1)=2k, czyli:
\(\displaystyle{ (2n+1)^2-1= \ldots = 4 2k=8k}\)


Zadanie 3.
\(\displaystyle{ (2n+1)^2-(2n-1)^2=4n^2+4n+1-(4n^2-4n+1)=8n}\)


Zadanie 4.
Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \\ = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)

Czyli nasza suma przedstawia się po uproszczeniu jako:
\(\displaystyle{ \sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+ \ldots + \sqrt{100}-\sqrt{99}=\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9}\)

Ubuntu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 21 paź 2007, o 18:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: z Wawy
Podziękował: 11 razy

Powtórka do Matury - "wykaż, że..."

Post autor: Ubuntu » 22 paź 2007, o 00:09

Zauważ, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}= \\ = \frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}\)
Zapomniałem kompletnie o tym wzorze. Co do innych rozwiązań - wszystko jasne.
Raz jeszcze dziękuję za pomoc, bardzo się przydała.

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ