Matematyka.pl

Witam, proszę o pomoc z następującym zadaniem.

Wstawić \(\displaystyle{ Θ}\) lub \(\displaystyle{ Ω}\) lub \(\displaystyle{ O}\) (są to symbole relacji rzędów złożoności), aby otrzymać zdanie prawdziwe.
\(\displaystyle{ n^{\ln(n)}=...(\ln(n))^n}\)
No i oczywiście proszę o podanie toku rozumowania.

Zauważ, że:

• \(\displaystyle{ n^{\ln n}=e^{\ln^2n }}\)

• \(\displaystyle{ \ln^nn=e^{n \ln \ln n}}\)

i teraz ponieważ \(\displaystyle{ n \ln \ln n}\) rośnie szybciej od \(\displaystyle{ \ln^2n }\) w sensie \(\displaystyle{ \ln^2n-n \ln \ln n \to -\infty}\) toteż \(\displaystyle{ e^{\ln^2n }/e^{n \ln \ln n}\to 0}\). Zatem wstawić należy \(\displaystyle{ O}\).