Matematyka.pl

Dane jest sobie zadanie o tresci i rysunku Proszę o informacje czy mój tok rozumowania i zarazem rozwiązywania tego zadania jest poprawny. Nie chodzi mi o ty ktoś to zadanie rozwiązał tylko o informacje czy sposób rozwiązania przeze mnie przedstawiony jest poprawny .
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = \overrightarrow{V} }\) - prędkość samolotu względem ziemi
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vu} }\) - prędkość wiatru
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw}}\) - prędkość samolotu względem wiatru
samolot posiada stałą prędkość względem powietrza . Oznacza to iż długość wektora |\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw}}\)| jest stała i nie zmienia się bez względu na to czy samolot wyrusza z lotniska czy wraca na lotnisko.
znając prędkość Vsz oraz Vu można obliczyć długość wektora prędkości samolotu względem powietrza Vsw z równania \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = \overrightarrow{Vsw} + \overrightarrow{Vu} }\) więc \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw} = \overrightarrow{Vsz} - \overrightarrow{Vu} }\)

znamy długości wektorów Vsw oraz Vu.

Chcemy/dążymy do tego by tak ustawić znaleźć wartość kąta \(\displaystyle{ \beta}\) (taki kąt sobie oznaczyłem) pomiędzy wektorem prędkości wiatru (Vu) a wektorem prędkości samolotu względem wiatru (Vsw) by wektor Vsw wraz z wektorem wiatru dał wektor \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz}}\) ale na powrocie który zresztą zaznaczyłem na rysunku.
Czyli \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = \overrightarrow{Vsw} + \overrightarrow{Vu}}\)

rozpisuje składowe X oraz Y wektorów :
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = [|Vsz|cos( \alpha /2),|Vsz|sin( \alpha /2)] }\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw} = [|Vsw|cos( \beta),|Vsw|sin( \beta )] }\)
\(\displaystyle{ \overrightarrow{Vu} }\) = \(\displaystyle{ [|Vu|,0] }\)

więc równanie na skłądową X przybierze postać
\(\displaystyle{ |Vsz|cos( \alpha /2)= |Vsw|cos( \beta) + |Vu| }\)

\(\displaystyle{ |Vsw|cos( \beta)=|Vsz|cos( \alpha /2)- |Vu| }\) więc \(\displaystyle{ cos( \beta) =\frac{|Vsz|cos( \alpha /2)- |Vu|}{Vsw} }\)
wcześniej obliczyliśmy Vsw jako \(\displaystyle{ |Vsw| =|Vsz| -|Vu| }\)
więc podstawiając do mianownika za Vsw otrzymamy ostatecznie \(\displaystyle{ cos( \beta) =\frac{|Vsz|cos( \alpha /2)- |Vu|}{|Vsz| -|Vu|} }\)

Na osi Y znów wychodzę z równania \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = \overrightarrow{Vsw} + \overrightarrow{Vu}}\) więc na oś Y będzie to :
\(\displaystyle{ -|Vsz|sin(\alpha/2)= |Vsw|sin(\beta)}\) za Vsw również możemy podstawić \(\displaystyle{ |Vsw| = |Vsz| - |Vu|}\)

niewiadome to : kąt \(\displaystyle{ \beta}\) , wydaje mi się że jeśli długości wektorów: prędkości wiatru Vu oraz wektora Vsw (prędkość samolotu względem wiatru) są stałe to Prędkość samolotu też jest stała a więc taka sama jak gdy samolot odlatywał z lotniska a w zadaniu jest dane że wektor prędkości względem ziemi wynosi V a więc \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz} = \overrightarrow{V} }\)

Jest "sobie zadanie". Podstawą rozwiązywania zadań jest ujawniona i poprawnie zapisana jego treść.

Wrzuciłem zarówno z treścią zadania oraz rysunkiem do zadania. w linku zewnętrznym Jednakże zmian dokonał moderator

Cała trasa samolotu ma kształt trójkąta równoramiennego i jego trasa powrotna jest podstawą tego trójkąta.

Proszę poprawić rysunek:

Kąt \(\displaystyle{ \beta }\) to kąt zawarty między podstawą tego trójkąta (trasą powrotną) a wektorem o długości \(\displaystyle{ |\vec{v} -\vec{u}|,}\) łączącym koniec poziomego wektora \(\displaystyle{ \vec{u} }\) z podstawą tego trójkąta.

Proszę zaznaczyć kąt \(\displaystyle{ \gamma ,}\) którego miarę mamy obliczyć (kąt zawarty między wektorem \(\displaystyle{ \vec{u} }\) a jego kierunkiem poziomym).

Wskazówka:

Zastosownie twierdzenia o kącie zewnętrznym trójkąta w celu obliczenia wartości kąta przy podstawie trójkąta.

Zastosowanie twierdzenia o kątach naprzemianległych wewnętrznych przy dwóch prostych równoegłych przeciętych trzecią prostą.

Zastosowanie twierdzenia sinusów do trójkąta o bokach \(\displaystyle{ |u|, |v-u| }\) w celu znalezienia sinusa kąta \(\displaystyle{ \beta.}\)

Warto też pisać z jakiej książki (lub innego źródła) pochodzi zadanie. Ułatwia to udzielenie pomocy.

Przede wszystkim zacznę od tego iż chciałem to obliczyć stosując wzór na prędkość względną tj \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsz}= \overrightarrow{Vsw}+ \overrightarrow{Vw}}\)
Vsz- predkość względem ziemi Vsw-wektor prędkośći względem wiatru , Vw-prędkość wiatru. Dlaczego akurat w taki sposób ? Ponieważ ten wzór jest esencją ruchu względnego

Mamy obliczyć kąt między wektorem ustawienia samolotu a wektorem wiatru. Przyjąłem sobie że wiatr wieje poziomo (bo mogę sobie tak przyjąć i będzie łątwiej) Można wyróżnić dwa kąty między wektorem ustawienia samolotu tzn wektorem prędkości względem wiatru prędkości \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw}}\) a wektorem \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vw}}\) kąt rozwary oraz kąt ostry, na rysunku który umieściłem kąt \(\displaystyle{ \displaystyle{ \gamma ,}}\) jest kątem rozwartym, więc wole obliczyć kąt ostry β który podobnie jak \(\displaystyle{ \displaystyle{ \gamma ,}}\) jest kątem poszukiwanym (mi łatwiej rzutuje się na kąty ostre dlatego chciałem obliczać kąt β jak na poprzednim rysunku. )


"Kąt β to kąt zawarty między podstawą tego trójkąta (trasą powrotną) a wektorem o długości |v−u|, łączącym koniec poziomego wektora u
z podstawą tego trójkąta." Dlaczego kąt β nie może być kątem między wektorem prędkości samolotu względem powietrza \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vsw}}\) a wektorem prędkości wiatru ? \(\displaystyle{ \overrightarrow{Vw}}\)

No i potem obliczać jak napisałem dalej ? Dlaczego nie tak ? Co jest złego w tym ?

Pod takim kątem \(\displaystyle{ \beta }\) samolot nie powróci na lotnisko.