Czy istnieje funkcja ciągła \(\displaystyle{ f}\) taka, że \(\displaystyle{ f( f(x) )= 4^{-x}}\) dla \(\displaystyle{ x \in \RR}\) ?
Re: Znowu iteracje
: 27 sie 2022, o 14:25
autor: 3a174ad9764fefcb
Zakładam, że \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), bo funkcję ciągłą \(f:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) spełniającą \(f(f(x))=4^{-x}\) dla \(x\in\mathbb{R}\) dałoby się znaleźć.
Ukryta treść:
Skoro \(f\circ f\) jest różnowartościowa, to \(f\) także jest różnowartościowa. Różnowartościowa i ciągła funkcja \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) jest monotoniczna. Skoro \(f\) jest monotoniczna, to \(f\circ f\) jest niemalejąca, więc nie może być równa funkcji \(4^{-x}\).