Strona 1 z 1

Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 02:01
autor: Kodzax
Witam potrzebuje wyliczyć każda pozycje punktu po okręgu w układzie współrzędnych za pomocą wzoru. Dla kąta 0 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (60,0).Dla kąta 90 stopni odległość punktu wynosi 60mm a pozycja wynosi (0,60) Punkty muszą być wyliczane na podstawie kąta obrotu alfa. Mam wrażenie że to zwykłe sin i cos ale nie mogę tego rozgryźć

Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 08:58
autor: Isdre
Kodzax pisze: 23 sie 2022, o 02:01 Potrzebuje wzór żebym mógł określić wszystkie punkty po okręgu za pomocą wzoru jak dla np. a2
Czy może jakieś inne sposoby wyznaczenia równań pozycji?
S(a,b) - środek okręgu
r - promień okręgu
Równanie okręgu na układzie współrzędnych:
\(\displaystyle{ (x-a)^{2} + (y-b)^{2} = r^{2}}\)

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 10:08
autor: Dasio11
Punkt \(\displaystyle{ a_2}\) na rysunku ma współrzędne

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 17:05
autor: Kodzax
Dasio11 pisze: 23 sie 2022, o 10:08 Punkt \(\displaystyle{ a_2}\) na rysunku ma współrzędne

\(\displaystyle{ \begin{cases} x = 60 \cos \alpha \\ y = 60 \sin \alpha \end{cases}}\)
Jeżeli pochodną pozycji jest prędkość to wynosi ona?
\(\displaystyle{ \begin{cases} x = \sin \alpha \\ y = -\cos \alpha \end{cases}}\)

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 17:10
autor: Dasio11
O prędkości jest sens mówić tylko wtedy, gdy dana jest funkcja położenia od czasu, a nie pojedyncza pozycja - podobnie jak nie da się określić prędkości samochodu z pojedynczego zdjęcia.

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 20:27
autor: Kodzax
Dostałem taka informacje: kąt obrotu alpha (oznaczam wstępnie literą "a") to jest funkcja \(\displaystyle{ a(t)}\). Dlatego pochodna z \(\displaystyle{ \sin(a(t))}\) musi uwzględnić pochodną funkcji wewnętrznej.

Informacja ta powoli już wykracza za moje kompetencje. Jaka są kolejne kroki żeby wyliczyć prędkość z pozycji w tym przypadku?

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 23 sie 2022, o 20:59
autor: Dasio11
Jeśli dobrze rozumiem, punkt \(\displaystyle{ a}\) porusza się po okręgu o promieniu \(\displaystyle{ 60}\) w taki sposób, że w chwili \(\displaystyle{ t}\) jego promień wodzący tworzy z osią OX kąt \(\displaystyle{ \alpha(t)}\). W takim razie położenie punktu w chwili \(\displaystyle{ t}\) to

\(\displaystyle{ s(t) = \begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 60 \cos(\alpha(t)) \\ 60 \sin(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).

Prędkość w chwili \(\displaystyle{ t}\) jest pochodną tej funkcji, i obliczamy ją ze wzoru na pochodną złożenia:

\(\displaystyle{ v(t) = \begin{pmatrix} x'(t) \\ y'(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \cdot \alpha'(t) \end{pmatrix} = \alpha'(t) \cdot \begin{pmatrix} -60 \sin(\alpha(t)) \\ 60 \cos(\alpha(t)) \end{pmatrix}}\).

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 24 sie 2022, o 16:19
autor: Kodzax
Chciałbym policzyć przykładowo dla kąta \(\displaystyle{ 45}\). Jak obliczyć pochodna z \(\displaystyle{ α′(t)}\)? Będą to po prostu \(\displaystyle{ -\sin45^\circ}\) i \(\displaystyle{ \cos45^\circ\ ?}\)

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 24 sie 2022, o 17:17
autor: 3a174ad9764fefcb
Zależy od tego, jak wygląda funkcja \(\alpha\). Przykładowo jeśli punkt spoczywa w miejscu wyznaczonym przez kąt \(\alpha(t)=45^{\circ}=\frac{\pi}4\), to \(\alpha'(t)=0\). Jeśli punkt porusza się jednostajnie z prędkością kątową \(\omega\), to \(\alpha(t)=\omega t + \alpha_0\) oraz \(\alpha'(t)=\omega\).

Re: Pozycje punktu po okręgu

: 25 sie 2022, o 22:31
autor: Kodzax
Mam do wyznaczenie kolejne wzory na pozycje i prędkość punktu na okręgu tym razem bardziej skomplikowane. Środek okręgu \(\displaystyle{ S(30,0)}\), nieznane \(\displaystyle{ r}\) oraz punkt \(\displaystyle{ a_1{}(60,10)}\) który jest pod kątem \(\displaystyle{ \alpha= 0^{\circ}}\) - Tym razem pozycja punktu będzie na paliczku a nie w jego osi - czarny punkt. Wcześniejsze wzory niestety nie pasują i zastanawiam się czy nie będzie trzeba przesunąć układu współrzędnych chociaż wolał bym go zostawić tak jak jest

Dodano po 23 godzinach 58 minutach 28 sekundach:
Dziękuje serdecznie wszystkim za pomoc, udało mi się wyznaczy wzory także temat można zamknąć