Matematyka.pl

Udowodnij, że funkcja \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3 + 1}}\) nie jest wielomianem.

Z góry dziękuje za pomoc.

Przypuśćmy nie wprost, że jest inaczej:
niech
\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3+1}=P(x)}\) dla pewnego wielomianu \(\displaystyle{ P}\).
Mamy wówczas
\(\displaystyle{ x^3+1=P^3(x)}\).
Z porównania stopni wielomianów wiemy, że \(\displaystyle{ P^3(x)}\) musi mieć stopień \(\displaystyle{ 3}\), a zatem \(\displaystyle{ P(x)}\) ma stopień \(\displaystyle{ 1}\), tj. \(\displaystyle{ P(x)=ax+b}\) dla pewnych \(\displaystyle{ a,b\in \CC}\). Podnosząc do trzeciej potęgi (z wykorzystaniem wzoru dwumianowego) i porównując współczynniki mamy w szczególności \(\displaystyle{ 3a^2b=0}\), czyli \(\displaystyle{ a=0\vee b=0}\); po sprawdzeniu obie te sytuacje natychmiast prowadzą do sprzeczności.

Albo tak: \(\displaystyle{ \lim_{x\to\infty} (\sqrt[3]{x^3+1}-x)=0,}\) więc to wyrażenie byłoby wielomianem zerowym. Ale oczywiście zwykle \(\displaystyle{ \sqrt[3]{x^3+1}\neq x}\) .