Matematyka.pl

Mam problem z pewnym szeregiem. Od czego powinnam zacząć, żeby znaleźć wynik?

\(\displaystyle{ \sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} (xe^{\alpha})^s }\)

Oznaczny `xe^\alpha=t` i niech \(\displaystyle{ f_r(t)=\sum_{s=0}^{\infty} {r-1+s \choose s} t^s}\).

Wtedy
\(\displaystyle{ f_r'(t)=\sum_{s=1}^{\infty} s \frac{(r-1+s)!}{s!(r-1)!} t^{s-1}=\sum_{s=1}^{\infty} r\frac{(r+s-1)!}{(s-1)!r!} t^{s-1}\\
=r\sum_{s=0}^\infty \binom{r+s}{s}t^s=rf_{r+1}(t)}\)
To w połączeniu z faktem, że
\(\displaystyle{ f_1(t)=\frac{1}{1-t}}\) pozwala wyliczyć `f_r` w zamkniętej formie dla każdego `r`

Podejrzewam, że \(r\) mogło oznaczać liczbę rzeczywistą, niekoniecznie naturalną.