Matematyka.pl

Czy da się te dwa szeregi uprościć?

\(\displaystyle{ 1-\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^4}{24}+\frac{\pi^6}{6!}- ...}\)

\(\displaystyle{ \pi-\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi^5}{120}-\frac{\pi^7}{7!}+...}\)

\(\displaystyle{ 1-\frac{\pi^2}{2}+\frac{\pi^4}{24}-\frac{\pi^6}{6!}+ ...=\cos \pi=-1}\)

\(\displaystyle{ \pi-\frac{\pi^3}{6}+\frac{\pi^5}{120}-\frac{\pi^7}{7!}+...=\sin \pi=0}\)

Ale w pierwszym jest minus i dwa plusy...

Skoro tak, to może dałoby się ten szereg wyrazić jako \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^5 C_k e^{\varepsilon_6^k \pi}}\), gdzie \(\varepsilon_6=\frac{1+\sqrt3i}2\) jest zespolonym pierwiastkiem szóstego stopnia z jedynki a \(C_k\) są pewnymi stałymi.

a4karo pisze: ↑19 sie 2022, o 13:03 Ale w pierwszym jest minus i dwa plusy...

Założyłem, że autor się pomylił, a jeśli nie to mnie poprawi.

O ile istotnie nie było tam pomyłki, to i tak brakuje informacji jak tworzony jest ten szereg.