Postać Jordana macierzy z zespolonymi wartościami własnymi
: 17 sie 2022, o 14:19
W praktycznych obliczeniach numerycznych, przekształcenia Jordana dla macierzy o złożonych wartościach własnych mogą powodować problemy.
W szczególności, gdy macierze mają powtarzające się wartości własne.
Ponadto, jeśli macierz ma złożone wartości własne,kanoniczna forma Jordana i macierz wektorów własnych mogą zawierać skomplikowane składniki.
Dlatego w algebrze numerycznej stosujemy programy komputerowe na przykład MATLAB-OCTAVE.
Ograniczeniem funkcji MATLABA jest to, że uwzględnia tylko macierze posiadające co najwyżej dwa podwójnie złożone wartości własne.
Przykład
W programie MATLAB znajdziemy postać kanoniczną Jordana i macierz przekształceń dla macierzy
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{matrix} 0 & −1 & 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0.5 & 0 & −0.5 & 0 & −1& 0.5\\ −0.5& 0& −0.5& 0& 0& 0.5\\
468.5 & 452 & 304.5 & 577 & 225 & 360.5\\ −468 &−450 & −303 & −576 & −223 & −361\\−467.5 & −451 & −303.5 & −576 & −223 & −361.5 \end{matrix}\right] }\)
W szczególności, gdy macierze mają powtarzające się wartości własne.
Ponadto, jeśli macierz ma złożone wartości własne,kanoniczna forma Jordana i macierz wektorów własnych mogą zawierać skomplikowane składniki.
Dlatego w algebrze numerycznej stosujemy programy komputerowe na przykład MATLAB-OCTAVE.
Ograniczeniem funkcji MATLABA jest to, że uwzględnia tylko macierze posiadające co najwyżej dwa podwójnie złożone wartości własne.
Przykład
W programie MATLAB znajdziemy postać kanoniczną Jordana i macierz przekształceń dla macierzy
\(\displaystyle{ A = \left[ \begin{matrix} 0 & −1 & 0 & 0 & −1 & 1 \\ 0.5 & 0 & −0.5 & 0 & −1& 0.5\\ −0.5& 0& −0.5& 0& 0& 0.5\\
468.5 & 452 & 304.5 & 577 & 225 & 360.5\\ −468 &−450 & −303 & −576 & −223 & −361\\−467.5 & −451 & −303.5 & −576 & −223 & −361.5 \end{matrix}\right] }\)
Kod: Zaznacz cały
>> A=[0,-1,0,0,-1,1; 0.5,0,-0.5,0,-1,0.5; -0.5,0,-0.5,0,0,0.5;
468.5,452,304.5,577,225,360.5; -468,-450,-303,-576,-223,-361;
-467.5,-451,-303.5,-576,-223,-361.5]; % macierz
A=sym(A); eig(A), [v,J]=jordan(A) % wartości własne, postać Jordana
ans =
-2
-2
- 1 - 2i
- 1 - 2i
- 1 + 2i
- 1 + 2i
v =
[ 423/25, -543/125, 851/100 + 757i/100, 334/125 - 9321i/1000, 851/100 - 757i/100, 334/125 + 9321i/1000]
[ -423/25, 7431/250, 2459/100 + 663i/100, - 7431/500 - 509i/1000, 2459/100 - 663i/100, - 7431/500 + 509i/1000]
[ 423/5, -471/10, - 757/40 + 851i/40, 471/20 - 1887i/80, - 757/40 - 851i/40, 471/20 + 1887i/80]
[ 4371/25, -70677/250, - 47327/400 - 9191i/100, 70677/500 + 247587i/4000, - 47327/400 + 9191i/100, 70677/500 - 247587i/4000]
[ -4653/25, 31353/125, 16263/200 + 15991i/200, - 31353/250 - 96843i/2000, 16263/200 - 15991i/200, - 31353/250 + 96843i/2000]
[ -5922/25, 76539/250, 22507/200 + 12399i/200, - 76539/500 - 74767i/2000, 22507/200 - 12399i/200, - 76539/500 + 74767i/2000]
J =
[ -2, 1, 0, 0, 0, 0]
[ 0, -2, 0, 0, 0, 0]
[ 0, 0, - 1 - 2i, 1, 0, 0]
[ 0, 0, 0, - 1 - 2i, 0, 0]
[ 0, 0, 0, 0, - 1 + 2i, 1]
[ 0, 0, 0, 0, 0, - 1 + 2i]
[code]
Macierz Jordana zawiera dwie wartości rzeczywiste i dwie pary wartości własnych zespolonych.