Matematyka.pl

Rozważając porządek produktowy, zaczęła mnie zastanawiać pewna rzecz.

Rozważmy prostokąt \(\displaystyle{ X \times Y}\). I teraz zachodzi pytanie: Czy w tym prostokącie można poprowadzić przekątną od dolnego lewego rogu do prawego górnego rogu?? Możemy przyjać, że te obydwie osie są uporządkowane przez pewne częściowe porzadki. Dzisiaj rano wydawało mi się, że na pewno da się to zrobić , a teraz są pewne problemy, ale nie wiem. Ja sobie zdaje sprawę, że zbiory mogą nie być równoliczne, ale proszę zauważyć, że jak mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\)-zbiór \(\displaystyle{ 5}\)-elementowy, i gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ Y}\)- zbiór \(\displaystyle{ 3}\)-elementowy, to można przeprowadzić przekatną: Nawet jak weźmiemy iloczyn kartezjański zbioru \(\displaystyle{ \NN}\) i zbioru liczb rzeczywistych nieujemnych, to również możemy przeprowadzić przekątną: wystarczy wziąć prostą \(\displaystyle{ y=x,}\) przeciętą z naszym prostokątem kartezjańskim, co prawda, taka przekątna, nie wszystkie liczby rzeczywiste będzie przecinać, ale przynajmniej ''rozciąga się' z wszystkich liczb naturalnych na wszystkie liczby nieujemne, i jest relacją wzajemnie jednoznaczną . Chodzi mi chyba o to żeby przeskalować pierwszą oś na drugą oś, dzisiaj rano wydawało mi się, że zawsze to się uda zrobić, a teraz nie wiem . No bo jak weźmiemy jako \(\displaystyle{ X,}\) zbiór \(\displaystyle{ 3}\)-elementpwy, a jako \(\displaystyle{ Y,}\) zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych, to się pojawia problem, i to chyba stąd, że w zbiorze liczb rzeczywistych nieujemnych nie ma liczby największej. I podobnie dla zbioru \(\displaystyle{ X}\) równego zbiorowi liczb rzeczywistych nieujemnych, a dla \(\displaystyle{ Y}\)- którym jest pewien zbiór \(\displaystyle{ 3}\)-elementowy - wtedy również podobny problem się pojawia.

Obawiam się, że może to się nie udać. Czy może da radę?? Co o tym myślicie
Chciałem utworzyć łańcuch w porządku produktowym- dobra, nieważne.

A może zdefiniuj najpierw, co rozumiesz przez przekątną w iloczynie kartezjańskim \(\displaystyle{ X \times Y}\) ?

JK

Chodzi o relację z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), relację \(\displaystyle{ R}\) wzajemnie jednoznaczną, i taką, że \(\displaystyle{ R_L= X}\) i \(\displaystyle{ R_P=Y.}\)

Jakub Gurak pisze: ↑16 sie 2022, o 12:41 Chodzi o relację z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\), relację \(\displaystyle{ R}\) wzajemnie jednoznaczną, i taką, że \(\displaystyle{ R_L= X}\) i \(\displaystyle{ R_P=Y.}\)

Ta definicja stoi w sprzeczności z Twoim stwierdzeniem:

Jakub Gurak pisze: ↑15 sie 2022, o 23:56ale proszę zauważyć, że jak mamy zbiór \(\displaystyle{ X}\)-zbiór \(\displaystyle{ 5}\)-elementowy, i gdy mamy zbiór \(\displaystyle{ Y}\)- zbiór \(\displaystyle{ 3}\)-elementowy, to można przeprowadzić przekatną:

gdyż narysowana relacja ewidentnie nie spełnia warunku \(\displaystyle{ R_L= X}\).

JK

Może jako proste ćwiczenie narysuj sobie "przekątne" zbiorów `\{0\}\times \{1,2\}` i `\{1,2\}\times \{0\}` i zobacz, czy to jest to, co masz na myśli.

Ha, wyjdą zapewne proste poziome i proste pionowe- dobre, tego się nie spodziewałem.
A jeszcze spytam, nie jestem do końca przekonany, czy ta moja definicja oznacza, że relacja \(\displaystyle{ R}\) jest bijekcją z \(\displaystyle{ X}\) do \(\displaystyle{ Y}\)

Tak.

Jakub Gurak pisze: ↑16 sie 2022, o 20:46 Ha, wyjdą zapewne proste poziome i proste pionowe- dobre, tego się nie spodziewałem.

Jeżeli zastosujesz swoją definicję, to nie, bo dla zbiorów podanych przez a4karo takie "przekątne" nie istnieją (pomijając już fakt, że używanie terminu "prosta" wydaje się w tym kontekście nadużyciem).

JK