żS-4, od Sylwek, zadanie 3

[Liga]

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1}=x\sqrt[3]{2}}\)

Wszystko do trzeciej a potem podstawiamy z wyjściowego:
\(\displaystyle{ x-1+x+1 +3 \sqrt[3]{(x-1)(x+1)}(\sqrt[3]{x-1}+\sqrt[3]{x+1})=2x^3 \\ 3 \sqrt[3]{(x-1)(x+1)} x \sqrt[3]{2}=2x(x^2-1)}\)

Zauważmy, że x=0 jest jednym z rozwiązań tego równania. Więc teraz rozpatrzmy, gdy \(\displaystyle{ x \mathbb{R}- \lbrace 0 \rbrace}\). Skracamy x po obu stronach i obie strony do trzeciej:
\(\displaystyle{ 54(x-1)(x+1)=8(x-1)^3(x+1)^3}\)

Zatem x=1 oraz x=-1 są kolejnymi rozwiązaniami tego równania. Rozpatrzmy, gdy: \(\displaystyle{ x \mathbb{R}- \lbrace -1, \ 0, \ 1 \rbrace}\). Skróćmy x-1 i x+1 oraz uporządkujmy obie strony równania:

\(\displaystyle{ (x^2-1)^2=\frac{27}{4} \\ x^2-1=\frac{3\sqrt{3}}{2} x^2-1=-\frac{3\sqrt{3}}{2}}\)

Drugi przypadek jest sprzeczny, więc:
\(\displaystyle{ x^2=\frac{3\sqrt{3}}{2}+1=\frac{3\sqrt{3}+2}{2} \\ x=\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+2}{2}} x=-\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+2}{2}}}\)

Odp: \(\displaystyle{ x \lbrace -\sqrt{\frac{3\sqrt{3}+2}{2}}, \ -1, \ 0, \ 1, \ \sqrt{\frac{3\sqrt{3}+2}{2}} \rbrace}\)

[scyth]

mam nadzieję, że na maturze nie będzie pisał takim językiem 5/5