żS-4, od: Sylwek, zadanie 4

[Liga]

\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2^{x}}+ \frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^m}\)

Wiemy, że:
\(\displaystyle{ {m\choose 0}+{m\choose 1}+{m\choose 2}=22, \ m \geq 2 \\ 1+m+ \frac{m(m-1)}{2}=22 \\ 2m+m(m-1)=42 \\ m(2+m-1)=42 \\ m(m+1)=42 \wedge m \geq 2 \\ m=6}\)

Nasz dwumian przedstawia się więc jako:
\(\displaystyle{ \left(\sqrt{2^{x}}+ \frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}}\right)^6}\)

Sprawdźmy więc, kiedy zachodzi:
\(\displaystyle{ 15 \cdot \sqrt{2^x}^4 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^2+15 \cdot \sqrt{2^x}^2 \cdot (\frac{1}{\sqrt{2^{x-1}}})^4=135 \\ (2^x)^2 \cdot \frac{2}{2^x}+2^x \cdot \frac{4}{(2^x)^2}=9 \\ 2 \cdot 2^x + \frac{4}{2^x}=9}\)

Niech \(\displaystyle{ t=2^x}\), t>0

\(\displaystyle{ 2t+\frac{4}{t}=9 \\ 2t^2-9t+4=0 \\ (2t-1)(t-4)=0 \\ t=2^{-1} t=2^2 \\ 2^x=2^{-1} 2^x=2^2 \\ x=-1 x=2}\)

Odp: \(\displaystyle{ m=6 (x=-1 x=2)}\)

[scyth]

5/5