Matematyka.pl

Witam, potrzebuję pomocy w rozwiązaniu poniższego zadania.

Mamy dwie półproste mające początek w \(\displaystyle{ A}\) oraz dwie proste równoległe przecinające te dwie półproste w punktach \(\displaystyle{ B, C}\) i \(\displaystyle{ D, E}\), tak że utworzyły nam się dwa trójkąty \(\displaystyle{ A, B, C}\) i \(\displaystyle{ A, D, E}\), gdzie \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AD}\) leżą na jednej półprostej oraz \(\displaystyle{ AC}\) i \(\displaystyle{ AE}\) leżą na jednej półprostej.
Udowodnij, że punkt \(\displaystyle{ C}\) i punkty styków okręgów dopisanych na trójkątach \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) z prostymi \(\displaystyle{ BC}\) i \(\displaystyle{ DE}\) leżą na jednej prostej.

Na 95% wydaje mi się, że to prawda, a potrzebuję tego faktu/twierdzenie do zakończenia innego zadania, więc proszę o pomoc.

W treści nie widzę informacji, do których boków trójkątów dopisujesz okręgi. Poza tym coś jest namieszane. Raczej punkt \(A\) (nie \(C\)) ma być współliniowy z punktami styczności okręgów dopisanych. Dowód jest natychmiastowy z wykorzystaniem jednokładności względem punktu \(A\).

Tak, tak. Chodzi o okręgi dopisane do trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) oraz o punkt \(\displaystyle{ A}\).

Ale jednokładności jeszcze nie miałem, a czy wiesz może jak zrobić to bez jednokładności?

anxerx pisze: 12 sie 2022, o 14:17 Tak, tak. Chodzi o okręgi dopisane do trójkątów \(\displaystyle{ ABC}\) i \(\displaystyle{ ADE}\) oraz o punkt \(\displaystyle{ A}\).

Każdy trójkąt ma trzy okręgi dopisane. Zakładam że chodzi o trójkąty dopisane do boków \(BC\) i \(DE\) trójkątów \(ABC\) i \(ADE\).

anxerx pisze: 12 sie 2022, o 14:17 Ale jednokładności jeszcze nie miałem, a czy wiesz może jak zrobić to bez jednokładności?

Zatem trzeba zrobić jednokładność bez użycia tego słowa. A czy można użyć podobieństwa (które jest w tym wypadku jednokładnością, ale możemy tę nazwę pominąć)? Czy widzisz, że trójkąty \(ABC\) i \(ADE\) są podobne?

tak widzę

Dobrze, czyli istnieje pewne podobieństwo \(f\) (czyli takie przekształcenie płaszczyzny, że \(|f(X)f(Y)|=k\cdot|XY|\) dla dowolnych punktów \(X, Y\), gdzie \(k\) jest skalą podobieństwa), które spełnia: \(f(A)=A, f(B)=D, f(C)=E\). Czy jasne jest, że podobieństwo przekształca prostą na prostą, okrąg na okrąg, dwusieczną kąta na dwusieczną kąta? W szczególności odpowiednie dwusieczne kątów zewnętrznych w trójkącie \(ABC\) zostaną przekształcone na odpowiadające im dwusieczne kątów zewnętrznych trójkąta \(ADE\). Dalej, punkt przecięcia dwusiecznych, czyli środek jednego z okręgów dopisanych przejdzie na środek okręgu dopisanego do drugiego trójkąta, itd. itd.

Ok dzięki, już rozumiem